test_latex

В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно АМ, пересекает сторону АС в точке NАВ = 6; ВС = 5; АС = 9.

а) докажите, что биссектриса угла С делит отрезок МN пополам

б) пусть Р — точка пересечения биссектрис треугольника АВС. Найдите отношение АР : РN.

а) По теореме о внешнем угле треугольника ?BOC = ?BAO + ?АBO = 2 · 30° = 60°. Поэтому

\angle B E C+\angle B O C=120^{\circ}+60^{\circ}=180^{\circ}

Значит, точки B, E, C, O лежат на одной окружности. Вписанные в эту окружность углы CBE и COE опираются на одну и ту же дугу, следовательно, ?CBE = ?COE.

б) По теореме косинусов B C=\sqrt{B E^{2}+C E^{2}-2 B E \cdot C E \cdot \cos 120^{\circ}}=\sqrt{40^{2}+24^{2}-2 \cdot 40 \cdot 24 \cdot\left(-\frac{1}{2}\right)}=8 \sqrt{25+9+15}=8 \cdot 7=56

Вписанные углы BEO и CEO опираются на равные хорды BO и CO, значит, EO — биссектриса угла BEC. Пусть M — точка её пересечения со стороной BC. По формуле для биссектрисы треугольника получаем:

E M=\frac{2 B E \cdot C E \cdot \cos \frac{\angle B E C}{2}}{B E+C E}=\frac{2 \cdot 40 \cdot 24 \cdot \cos 60^{\circ}}{40+24}=15

 По свойству биссектрисы треугольника \frac{C M}{B M}=\frac{C E}{B E}=\frac{24}{40}=\frac{3}{5}, значит, C M=\frac{3}{8} B C=\frac{3}{8} \cdot 56=21, B M=35.

По теореме о произведении пересекающихся хорд EM · MO = BM · CM, откуда находим, что M O=\frac{B M \cdot C M}{F M}=\frac{35 \cdot 21}{15}=49. Треугольники COM и AOK равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому OK = OM. Следовательно, EK = EM + 2OM = 15 + 98 = 113.

Ответ: 113.

ervtedyheryheE=mc^2