ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД: 

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ

Ещё одним основным методом решений заданий с параметрами является графический метод. В этом разделе рассмотрим задачи для решения которых потребуется построить график некоторой функции на плоскости (x;y), при этом в большинстве случаев придется прибегнуть к элементарным преобразованиям заданных функций. На плоскости (x;y) функция y=f(x;a) задает семейство кривых, зависящих от параметра a. Естественно, для решения задач этого раздела, необходимо знать и уметь строить графики основных элементарных функций. Напомним основные способы преобразования элементарных функций, которые потребуется для построения их графиков.

Четные и нечетные функции. Функция y=f(x) называется четной, если f(-x)=f(x) и нечетной, если f(-x)=-f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат, а нечетной относительно начала координат.

Периодические функции. Если функция y=f(x) периодическая и имеет период Т, то функция y=A f(k x+b), где A, k и b постоянны, а k≠0, также периодическая, причем ее период равен T/|k|. Период алгебраической суммы периодических функций равен наименьшему общему кратному периодов всех слагаемых.

График функции y=f(x+a) получается из графика функции y=f(x) с помощью параллельного переноса (сдвига) последнего вдоль оси Ox на |a| единиц масштаба влево, если a>0 и вправо если a<0. 

График функции y=f(x)+a получается из графика функции y=f(x) с помощью параллельного переноса (сдвига) последнего вдоль оси Oy на |a| единиц масштаба вверх, если a>0 и вниз если a<0.

График функции y=f(kx) получаем из графика функции y=f(x) с помощью сжатия по оси абсцисс исходного графика пропорционально коэффициенту k при аргументе (если k>1, то график сжимается в k раз, а если 0<k<1, то график растягивается в 1/k раз).

График функции y=mf(x) получаем из графика функции y=f(x) с помощью растяжения этого графика по оси ординат пропорционально коэффициенту m при функции (если m>1, то график растягивается в m раз, если 0<m<1, то график сжимается в 1/раз). Если m<0, то можно сначала построить график функции y= |m|f(x), а затем отобразить его симметрично относительно оси Ox.

Для построения графика функции y=f(|x|) (четная функция) нужно построить график функции y=f(x) для x≥0, а затем отобразить построенную кривую симметрично относительно оси ординат.

Для построения графика функции y=|f(x)|надо построить график функции y=f(x), далее оставить без изменения все части построенного графика, которые лежат выше оси абсцисс, а части, расположенные ниже, отобразить симметрично относительно этой оси.

Замечание. При построении графиков функций, являющихся суммой, произведением, частным функций или более сложной функции, из которых одна или несколько содержат знак модуля, находят область определения функции, раскрывают знак модуля на тех промежутках, где выражения с модулем не меняют знака, и, наконец строят график функции, заданной на разных промежутках разными формулами.

1)  y=kx+b (линейная функция). Графиком является прямая с угловым коэффициентом k, для построения которой достаточно знать координаты двух точек. Если k>0, то прямая возрастает, если k<0, то прямая убывает, если k=0, то прямая параллельна оси абсцисс. Коэффициент b показывает пересечение прямой с осью ординат.

2)  y=ax2+bx+c (квадратичная функция). Графиком является парабола с вершиной xв=-\frac{b}{2 a}. Ветви параболы направлены вверх при a>0 или вниз при a<0. Коэффициент c показывает пересечение параболы с осью ординат. Если D=b2-4ac>0, то квадратный трехчлен имеет два различных корня, а парабола пересекает ось Ox в двух точках. Если D=0, то квадратный трехчлен имеет два равных корня, а парабола касается оси Ox (т.е. имеет с осью Ox одну общую точку). Если D<0, то квадратный трехчлен не имеет корней, а график квадратичной функции расположен выше (a>0) или ниже (a<0) оси Ox.

Остановимся более подробно на уравнение окружности: (xx0)2+(yy0)2=R2, где точка (x0;y0) – координаты центра окружности, а |R| – ее радиус, если R≠0; если R=0, то получается точка  (x0;y0). 

Рассмотрим наиболее часто встречаемые интерпретации уравнений окружности с параметром а;

  • уравнение (xx0)2+(yy0)2=a2 задает на координатной плоскости (x;y) множество окружностей, центр которых расположен в точке (x0;y0) и радиусом R=|a| при a≠0; если a=0, то саму точку (x0;y0);
  • уравнение (xx0)2+(yy0)2=a задает на координатной плоскости (x;y) множество окружностей, центр которых расположен в точке (x0;y0) и радиусом R=\sqrt{a} при a>0; если a=0, то саму точку (x0;y0);
  • уравнение (xa)2+(ya)2=R2 задает на координатной плоскости (x;y) множество окружностей  одинакового радиуса R с центром в точке x=a, y=a откуда следует, что y=x – это уравнение прямой, по которой «перемещается» центр окружности;
  • уравнение (xa)2+(y+a2)2=R2 задает на координатной плоскости (x;y) множество окружностей  одинакового радиуса R с центром в точке x=a, y=-a2 откуда следует, что y=-x2  – это уравнение параболы, по которой «перемещается» центр окружности.

Пример 1. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

\left\{\begin{array}{c}{y-|x|=-3} \\ {x^{2}+y^{2}=a}\end{array}\right.

имеет ровно три решения?

Решение. Для решения данной задачи воспользуемся геометрической интерпретацией уравнений, входящих в систему. Рассмотрим на координатной плоскости (x;y)

[year]