Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение. Задача 10math100admin44242025-03-23T22:37:42+03:00
Задача 10. Вычислите \(\sqrt 8 \left( {{\text{tg}}\,{{70}^ \circ }-{\text{tg}}\,{{25}^ \circ }} \right) \cdot \sin {20^ \circ }\sin {65^ \circ }\)
Решение
Воспользуемся формулой преобразования разности тангенсов:
\({\rm{tg}}\alpha -{\rm{tg}}\beta = \dfrac{{\sin \left( {\alpha -\beta } \right)}}{{\cos \alpha \cos \beta }}.\)
\(\sqrt 8 \cdot \left( {{\rm{tg}}{{70}^ \circ }-{\rm{tg}}{{25}^ \circ }} \right) \cdot \sin {20^ \circ }\sin {65^ \circ } = \sqrt 8 \cdot \dfrac{{\sin {{45}^ \circ } \cdot \sin \left( {{{90}^ \circ }-{{70}^ \circ }} \right)\sin \left( {{{90}^ \circ }-{{25}^ \circ }} \right)}}{{\cos {{70}^ \circ } \cdot \cos {{25}^ \circ }}} = \)
\( = \sqrt 8 \cdot \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \dfrac{{\cos {{70}^ \circ } \cdot \cos {{25}^ \circ }}}{{\cos {{70}^ \circ } \cdot \cos {{25}^ \circ }}} = 2.\)
Ответ: 2.