Задача 10. Вычислите    \(\sqrt 8 \left( {{\text{tg}}\,{{70}^ \circ }-{\text{tg}}\,{{25}^ \circ }} \right) \cdot \sin {20^ \circ }\sin {65^ \circ }\)

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Решение

Воспользуемся формулой преобразования разности тангенсов:

\({\rm{tg}}\alpha -{\rm{tg}}\beta  = \dfrac{{\sin \left( {\alpha -\beta } \right)}}{{\cos \alpha \cos \beta }}.\)

\(\sqrt 8  \cdot \left( {{\rm{tg}}{{70}^ \circ }-{\rm{tg}}{{25}^ \circ }} \right) \cdot \sin {20^ \circ }\sin {65^ \circ } = \sqrt 8  \cdot \dfrac{{\sin {{45}^ \circ } \cdot \sin \left( {{{90}^ \circ }-{{70}^ \circ }} \right)\sin \left( {{{90}^ \circ }-{{25}^ \circ }} \right)}}{{\cos {{70}^ \circ } \cdot \cos {{25}^ \circ }}} = \)

\( = \sqrt 8  \cdot \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \dfrac{{\cos {{70}^ \circ } \cdot \cos {{25}^ \circ }}}{{\cos {{70}^ \circ } \cdot \cos {{25}^ \circ }}} = 2.\)

Ответ:  2.