Задача 5. Вычислите    \(\left( {\sqrt 2 -\sqrt 3 } \right)\sin \dfrac{{13\pi }}{{24}}\sin \dfrac{{7\pi }}{{24}}\)

Ответ

ОТВЕТ: -0,25.

Решение

Воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в разность:

\(\sin \alpha \sin \beta  = \dfrac{1}{2}\left( {\cos \left( {\alpha -\beta } \right)-\cos \left( {\alpha  + \beta } \right)} \right).\)

\(\left( {\sqrt 2 -\sqrt 3 } \right)\sin \dfrac{{13\pi }}{{24}}\sin \dfrac{{7\pi }}{{24}} = \dfrac{{\sqrt 2 -\sqrt 3 }}{2}\left( {\cos \dfrac{\pi }{4}-\cos \dfrac{{5\pi }}{6}} \right) = \)

\( = \dfrac{{\sqrt 2 -\sqrt 3 }}{2} \cdot \left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = \dfrac{{\left( {\sqrt 2 -\sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 2  + \sqrt 3 } \right)}}{4} = -\dfrac{1}{4} = -0,25.\)

Ответ:  \(-0,25.\)