Скачать файл в формате pdf.


Алгебра 10-11 класс. Упрощение тригонометрических выражений

Задача 1. Докажите тождество    \({\left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)^2} = 1 + \sin 2\alpha \)
Задача 2. Докажите тождество    \({\cos ^4}\alpha  — {\sin ^4}\alpha  = \cos 2\alpha \)
Задача 3. Докажите тождество    \({\cos ^3}\alpha \,\sin \alpha  — {\sin ^3}\alpha \,\cos \alpha  = \frac{1}{4}\sin 4\alpha \)
Задача 4. Докажите тождество    \(1 + 2\cos 2\alpha  + \cos 4\alpha  = 4{\cos ^2}\alpha \cos 2\alpha \)
Задача 5. Докажите тождество   \(\cos 2\alpha \left( {\sin \alpha  + \sin 3\alpha } \right) = \sin 2\alpha \left( {\cos \alpha  + \cos 3\alpha } \right)\)
Задача 6. Докажите тождество    \(\cos 4\alpha  = 8{\cos ^4}\alpha  — 8{\cos ^2}\alpha  + 1\)
Задача 7. Докажите тождество    \(2\left( {{{\sin }^6}\alpha  + {{\cos }^6}\alpha } \right) — 3\left( {{{\sin }^4}\alpha  + {{\cos }^4}\alpha } \right) =  — 1\)
Задача 8. Докажите тождество    \(\frac{{1 + \cos \alpha  + \cos 2\alpha  + \cos 3\alpha }}{{\cos \alpha  + 2{{\cos }^2}\alpha  — 1}} = 2\cos \alpha \)
Задача 9. Докажите тождество  \(\frac{{\left( {1 + \sin \alpha } \right)\,{\text{tg}}\left( {\frac{\pi }{4} — \frac{\alpha }{2}} \right)}}{{\sin \alpha }} = ctg\alpha \)
Задача 10. Докажите тождество  \(\frac{{\cos \left( {\frac{{5\pi }}{2} — 6\alpha } \right) + \sin \left( {\pi  + 4\alpha } \right) + \sin \left( {3\pi  — \alpha } \right)}}{{\sin \left( {\frac{{5\pi }}{2} + 6\alpha } \right) + \cos \left( {4\alpha  — 2\pi } \right) + \cos \left( {\alpha  + 2\pi } \right)}} = tg\alpha \)
Задача 11. Докажите тождество    \({\text{ct}}{{\text{g}}^2}\alpha  — {\text{ct}}{{\text{g}}^2}\beta  = \frac{{{{\cos }^2}\alpha  — {{\cos }^2}\beta }}{{{{\sin }^2}\alpha \,{{\sin }^2}\beta }}\)
Задача 12. Докажите тождество    \(\frac{{\sin 4\alpha }}{{1 + \cos 4\alpha }} \cdot \frac{{\cos 2\alpha }}{{1 + \cos 2\alpha }} = {\text{ctg}}\left( {\frac{{3\pi }}{2} — \alpha } \right)\)
Задача 13. Докажите тождество    \({\sin ^2}\left( {\frac{{15\pi }}{8} — 2\alpha } \right) — {\cos ^2}\left( {\frac{{17\pi }}{8} — 2\alpha } \right) =  — \frac{{\cos 4\alpha }}{{\sqrt 2 }}\)
Задача 14. Докажите тождество    \(\cos 4\alpha \,{\text{tg}}2\alpha  — \sin 4\alpha  = \frac{{2\,tg\alpha }}{{{\text{t}}{{\text{g}}^2}\alpha  — 1}}\)
Задача 15. Докажите тождество    \({\sin ^2}2\alpha  — \cos \left( {\frac{\pi }{3} — 2\alpha } \right)\,\sin \left( {2\alpha  — \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{4}\)
Задача 16. Докажите тождество    \({\sin ^6}\alpha  + {\cos ^6}\alpha  + 3{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha  = 1\)
Задача 17. Докажите тождество    \(1 — \frac{1}{4}{\sin ^2}2\alpha  + \cos 2\alpha  = {\cos ^2}\alpha  + {\cos ^4}\alpha \)
Задача 18. Докажите тождество    \(\frac{{tg\alpha  + tg\beta }}{{tg\left( {\alpha  + \beta } \right)}} + \frac{{tg\alpha  — tg\beta }}{{tg\left( {\alpha  — \beta } \right)}} + 2{\text{t}}{{\text{g}}^2}\alpha  = \frac{2}{{{{\cos }^2}\alpha }}\)
Задача 19. Докажите тождество    \(\frac{{{\text{ctg}}\left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right)\,{\text{tg}}\left( {2\pi  — 2\alpha } \right)}}{{{\text{ctg}}\left( {\frac{{3\pi }}{2} — 2\alpha } \right) — tg\alpha }} — 2\sqrt 3 \sin \left( {\frac{\pi }{4} + \alpha } \right)\sin \left( {\frac{\pi }{4} — \alpha } \right) = 2\sin \left( {2\alpha  — \frac{\pi }{3}} \right)\)
Задача 20. Докажите тождество    \(\frac{{\sin 7\alpha }}{{\sin \alpha }} — 2\left( {\cos 2\alpha  + \cos 4\alpha  + \cos 6\alpha } \right) — 1 = 0\)
Задача 21. Докажите тождество    \(\frac{{{{\sin }^4}\alpha  + {{\cos }^4}\alpha  — 1}}{{{{\sin }^6}\alpha  + {{\cos }^6}\alpha  — 1}} = \frac{2}{3}\)
Задача 22. Докажите тождество    \(4\cos \left( {\frac{\pi }{6} — \alpha } \right)\,\sin \left( {\frac{\pi }{3} — \alpha } \right) = \frac{{\sin 3\alpha }}{{\sin \alpha }}\)
Задача 23. Докажите тождество    \(\frac{{\sin \left( {\frac{{5\pi }}{2} + \frac{\alpha }{2}} \right)\,\left( {1 + {\text{t}}{{\text{g}}^2}\left( {\frac{{3\alpha }}{4} — \frac{\pi }{2}} \right)} \right){{\cos }^2}\frac{\alpha }{4}}}{{{\text{t}}{{\text{g}}^2}\left( {\frac{{3\pi }}{2} — \frac{\alpha }{4}} \right) — {\text{t}}{{\text{g}}^2}\left( {\frac{{3\alpha }}{4} — \frac{{7\pi }}{2}} \right)}} = \frac{1}{8}\)
Задача 24. Докажите тождество    \(\cos \alpha  + \cos 2\alpha  + \cos 3\alpha  +  \ldots  + \cos k\alpha  = \frac{{\sin \frac{{k\alpha }}{2}\cos \frac{{\left( {k + 1} \right)\alpha }}{2}}}{{\sin \frac{\alpha }{2}}}\)
Задача 25. Докажите тождество    \(\sin \alpha  + \sin 2\alpha  + \sin 3\alpha  +  \ldots  + \sin k\alpha  = \frac{{\sin \frac{{k\alpha }}{2}\sin \frac{{\left( {k + 1} \right)\alpha }}{2}}}{{\sin \frac{\alpha }{2}}}\)
Задача 26. Упростите выражение    \({\sin ^2}\alpha  + \cos \,\left( {{{60}^ \circ } + \alpha } \right) \cdot \cos \,\left( {{{60}^ \circ } — \alpha } \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: 0,25.

Задача 27. Упростите выражение    \({\text{tg}}\,\alpha  — \frac{{{{\sin }^3}\alpha  + {{\cos }^3}\alpha }}{{\cos \alpha \,\left( {1 — \cos \alpha  \cdot \sin \alpha } \right)}}\)

Ответ

ОТВЕТ: -1.


Задача 28.
Упростите выражение    \(1 — \frac{1}{{1 — {{\sin }^{ — 1}}\left( {2\alpha  + \frac{{3\pi }}{2}} \right)}}\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\frac{1}{{2{{\cos }^2}\alpha }}\).
Задача 29. Упростите выражение    \({\text{ctg}}\left( {{{45}^ \circ } — \frac{\alpha }{{\text{2}}}} \right) + {\text{ctg}}\left( {{{135}^ \circ } — \frac{\alpha }{2}} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: \(2\,{\text{tg}}\,\alpha \).

Задача 30. Упростите выражение    \(\frac{{{{\cos }^{ — 1}}2\alpha  + \sin 2\alpha \,{\text{tg}}2\alpha }}{{1 + \cos 4\alpha }} + \frac{{{\text{tg}}\left( {\frac{\pi }{4} — \alpha } \right)}}{{4{{\sin }^2}\left( {\frac{\pi }{4} — \alpha } \right)\,}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{1}{{{{\cos }^3}2\alpha }}\).

Задача 31. Упростите выражение    \(\frac{{1 — \cos \,\left( {8\alpha  — 3\pi } \right)}}{{{\text{tg}}\,2\alpha  — {\text{ctg}}\,2\alpha }}\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \frac{{\sin 8\alpha }}{2}\).

Задача 32. Упростите выражение    \(\frac{{{\text{ct}}{{\text{g}}^2}\left( {\alpha  + \frac{\pi }{2}} \right)\,{{\cos }^2}\left( {\alpha  — \frac{\pi }{2}} \right)}}{{{\text{ct}}{{\text{g}}^2}\left( {\alpha  — \frac{\pi }{2}} \right) — {{\cos }^2}\left( {\alpha  + \frac{\pi }{2}} \right)}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Задача 33. Упростите выражение    \(\left( {{\text{tg}}\frac{\alpha }{2} — {\text{ctg}}\frac{\alpha}{2}} \right):\left( {{\text{tg}}\frac{\alpha }{2} + {\text{ctg}}\frac{\alpha }{2}} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \cos \alpha \).

Задача 34. Упростите выражение \(\frac{{{{\cos }^2}\left( {\frac{{5\pi }}{4} — 2\alpha } \right) — {{\sin }^2}\left( {\frac{{5\pi }}{4} — 2\alpha } \right)}}{{\left( {\cos \frac{\alpha }{2} + \sin \frac{\alpha }{2}} \right)\,\left( {\cos \,\left( {2\pi  — \frac{\alpha }{2}} \right) + \cos \,\left( {\frac{\pi }{2} + \frac{\alpha }{2}} \right)} \right)\sin \alpha }}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(4\cos 2\alpha \).

Задача 35. Упростите выражение    \(\sqrt {\left( {1 — {\text{t}}{{\text{g}}^2}\frac{\alpha }{2}} \right)\,\left( {{\text{ct}}{{\text{g}}^2}\frac{\alpha }{2} — 1} \right)} \)

Ответ

ОТВЕТ: \(2\,\left| {\,{\text{ctg}}\,\alpha \,} \right|\).

Задача 36. Упростите выражение    \(\frac{{\cos 2\alpha  — \cos 6\alpha  + \cos 10\alpha  — \cos 14\alpha }}{{\sin 2\alpha  + \sin 6\alpha  + \sin 10\alpha  + \sin 14\alpha }}\)

Ответ

ОТВЕТ: \({\text{tg}}\,2\alpha \).

Задача 37. Упростите выражение    \(\frac{{{{\left( {1 + {\text{tg}}\,2\alpha } \right)}^2} — 2{\text{t}}{{\text{g}}^2}2\alpha }}{{1 + {\text{t}}{{\text{g}}^2}2\alpha }} — \sin 4\alpha  — 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — 2{\sin ^2}2\alpha \).

Задача 38. Упростите выражение    \({\cos ^4}2\alpha  — 6{\cos ^2}2\alpha \,\,{\sin ^2}2\alpha  + {\sin ^4}2\alpha \)

Ответ

ОТВЕТ: \(\cos 8\alpha \).

Задача 39. Упростите выражение    \({\sin ^2}2\alpha  + {\sin ^2}\beta  + \cos \,\left( {2\alpha  + \beta } \right)\,\cos \,\left( {2\alpha  — \beta } \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Задача 40. Упростите выражение   \({\cos ^2}\left( {{{45}^ \circ } + \alpha } \right) — {\cos ^2}\left( {{{30}^ \circ } — \alpha } \right) + \sin {15^ \circ }\,\sin \left( {{{75}^ \circ } — 2\alpha } \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \sin 2\alpha \).

Задача 41. Упростите выражение    \({\sin ^2}\left( {{{135}^ \circ } — 2\alpha } \right) — {\sin ^2}\left( {{{210}^ \circ } — 2\alpha } \right) — \sin {195^ \circ }\cos \left( {{{165}^ \circ } — 4\alpha } \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\sin 4\alpha \).

Задача 42. Упростите выражение  \(\sqrt {\frac{{2\sin \alpha  — \sin 2\alpha }}{{2\sin \alpha  + \sin 2\alpha }}} \,,\)   если   \(\pi  < \alpha  < 2\pi \)

Ответ

ОТВЕТ: \( — {\text{tg}}\frac{\alpha }{2}\).

Задача 43. Упростите выражение    \(\frac{{1 + \cos \alpha  + \cos 2\alpha  + \cos 3\alpha }}{{\cos \alpha  + 2{{\cos }^2}\alpha  — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(2\cos \alpha \).

Задача 44. Упростите выражение    \(\frac{{\sin 6\alpha }}{{\sin 2\alpha }} + \frac{{\cos \,\left( {6\alpha  — \pi } \right)}}{{\cos 2\alpha }}\)

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Задача 45. Упростите выражение    \(\cos \,\left( {{{270}^ \circ } — 2\alpha } \right)\,\,{\text{ctg}}\,\left( {{{30}^ \circ } — 2\alpha } \right)\,\,{\text{tg}}\,\left( {{{240}^ \circ } — 2\alpha } \right)\,\left( {2\cos 4\alpha  — 1} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \sin 6\alpha \).

Задача 46. Вычислите    \({\sin ^4}\frac{\pi }{8} + {\cos ^4}\frac{{3\pi }}{8} + {\sin ^4}\frac{{5\pi }}{8} + {\cos ^4}\frac{{7\pi }}{8}\)

Ответ

ОТВЕТ: 1,5.

Задача 47. Вычислите    \(\frac{{3\,\left( {\cos {{20}^ \circ } — \sin 20{}^ \circ } \right)}}{{\sqrt 2  \cdot \sin {{25}^ \circ }}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 3.

Задача 48. Вычислите    \(\frac{1}{{2\cos {{40}^ \circ }}} + \frac{{\sqrt 3 }}{{2\sin {{40}^ \circ }}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Задача 49. Вычислите    \(\cos \frac{\pi }{5} + \cos \frac{{3\pi }}{5}\)

Ответ

ОТВЕТ: 0,5.

Задача 50. Вычислите    \(\frac{{\cos {{109}^ \circ } — \cos {{19}^ \circ }}}{{1 — 2{{\sin }^2}{{13}^ \circ }}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \sqrt 2 \).

Задача 51. Вычислите    \({\text{ctg}}\frac{{13\pi }}{{12}} — {\text{ctg}}\frac{{5\pi }}{{12}}\)
Ответ
Ответ: \(2\sqrt 3 \).

Задача 52. Вычислите    \(2\sin {55^ \circ } \cdot \cos {10^ \circ } + 2{\sin ^2}{12^ \circ }30′ + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Ответ

Ответ: \(1 + \sqrt 2 \).

Задача 53. Вычислите    \(2\sin {35^ \circ } \cdot \cos {10^ \circ } + 2{\sin ^2}{32^ \circ }30′ — \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Ответ

Ответ: 1.

Задача 54. Вычислите    \({\text{tg}}\,{9^ \circ } — {\text{tg}}\,{27^ \circ } — {\text{tg}}\,{63^ \circ } + {\text{tg}}\,{81^ \circ }\)

Ответ

Ответ: 4.

Задача 55. Вычислите    \(\sin {10^ \circ }\sin {30^ \circ }\sin {50^ \circ }\sin {70^ \circ }\)

Ответ

Ответ: 1/16.

Задача 56. Вычислите    \(\sin {20^ \circ }\sin {40^ \circ }\sin {60^ \circ }\sin {80^ \circ }\)

Ответ

Ответ: 3/16.

Задача 57. Вычислите    \({\text{tg}}\,{9^ \circ } + {\text{tg}}\,{15^ \circ } — {\text{tg}}\,{27^ \circ } — {\text{ctg}}\,{27^ \circ } + {\text{ctg}}\,{9^ \circ } + {\text{ctg}}\,{15^ \circ }\)

Ответ

Ответ: 8.

Задача 58. Вычислите    \(\frac{{\sin {{24}^ \circ }\cos {6^ \circ } — \sin {6^ \circ }\sin {{66}^ \circ }}}{{\sin {{21}^ \circ }\cos {{39}^ \circ } — \sin {{39}^ \circ }\cos {{21}^ \circ }}}\)

Ответ

Ответ: -1.

Задача 59. Вычислите    \(\frac{{\sin {{20}^ \circ }\cos {{10}^ \circ } + \cos {{160}^ \circ }\cos {{100}^ \circ }}}{{\sin {{21}^ \circ }\cos {9^ \circ } + \cos {{159}^ \circ }\cos {{99}^ \circ }}}\)

Ответ

Ответ: 1.

Задача 60. Вычислите    \(\sin {20^ \circ }\cos {50^ \circ }\sin {60^ \circ }\cos {10^ \circ }\)

Ответ

Ответ: 3/16.

Задача 61. Найдите    \(\frac{5}{{6 + 7\sin 2\alpha }}\),    если   \({\text{tg}}\,\alpha  = 0,2\)

Ответ

Ответ: \(\frac{{65}}{{113}}\).

Задача 62. Найдите    \(\frac{{3 — \sin \alpha \,\cos \alpha }}{{6{{\cos }^2}\alpha  — {{\sin }^2}\alpha }}\),    если   \({\text{tg}}\,\alpha  =  — 2\)

Ответ

Ответ: 8,5.

Задача 63. Найдите    \({\text{tg}}\,2\alpha \),    если    \(\sin \left( {\alpha  — {{90}^ \circ }} \right) = \frac{{2\sqrt 6 }}{5}\)    и   \(\alpha  \in \left( {{{90}^ \circ };\,{{180}^ \circ }} \right)\)

Ответ

Ответ: \( — \frac{{4\sqrt 6 }}{{23}}\).

Задача 64. Найдите    \(\cos \alpha  + \cos \beta \),    если    \(\alpha  + \beta  = 4\pi \)    и  \(\alpha  — \beta  = \frac{\pi }{2}\)

Ответ

Ответ: \(\sqrt 2 \).

Задача 65. Найдите    \(\cos \,\left( {2\alpha  + \frac{{7\pi }}{4}} \right)\),    если    \({\text{tg}}\,\alpha  = \frac{3}{2}\)

Ответ

Ответ: \(\frac{{7\sqrt 2 }}{{26}}\).

Задача 66. Найдите   \(\cos \left( {\alpha  + 2\beta } \right)\),   если   \({\text{tg}}\,\alpha  = \frac{5}{{12}},\)   \(\alpha  \in \left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right)\)   и   \({\text{tg}}\;\beta  =  — \frac{3}{4}\)

Ответ

Ответ: \( — \frac{{204}}{{325}}\).

Задача 67. Найдите    \(21\cos \frac{\alpha }{2}\),    если    \(\cos \alpha  = \frac{7}{{18}}\)    и    \(0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}\)

Ответ

Ответ: 17,5.

Задача 68. Найдите    \({\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{4} + 2\alpha } \right)\),    если    \(\sin 4\alpha  =  — \frac{1}{5}\)

Ответ

Ответ: 0,6.

Задача 69. Найдите    \(\frac{{\sin \alpha  — \sin \beta }}{{\cos \alpha  + \cos \beta }}\),    если    \(\alpha  — \beta  = \frac{\pi }{2}\)

Ответ

Ответ: 1.

Задача 70. Найдите    \(\cos \,\left( {2\alpha  + \frac{{5\pi }}{4}} \right)\),    если    \(tg\alpha  = \frac{2}{3}\)

Ответ

Ответ: \(\frac{{7\sqrt 2 }}{{26}}\).

Задача 71. Найдите    \({\text{t}}{{\text{g}}^2}\alpha  + {\text{ct}}{{\text{g}}^2}\alpha \),    если    \({\text{tg}}\,\alpha  — {\text{ctg}}\,\alpha  = 3\)

Ответ

Ответ: 11.

Задача 72. Найдите    \(\sqrt 2 \,\sin \,\left( {\frac{\pi }{4} + 2\alpha } \right)\),    если    \({\text{ctg}}\,\alpha  =  — \frac{1}{3}\)

Ответ

Ответ: -1,4.

Задача 73. Найдите    \({\sin ^3}\alpha  — {\cos ^3}\alpha \),    если    \(\sin \alpha  — \cos \alpha  = \frac{1}{3}\)

Ответ

Ответ: \(\frac{{13}}{{27}}\).

Задача 74. Найдите    \({\text{tg}}\,\alpha \),    если    \(15{\cos ^2}\alpha  — 2\cos \alpha  — 1 = 0\)    и    \( — \pi  < \alpha  <  — \frac{\pi }{2}\)

Ответ

Ответ: \(2\sqrt 6 \).

Задача 75. Найдите    \({\sin ^4}\alpha  + {\cos ^4}\alpha \),    если    \(\sin \alpha  — \cos \alpha  = 0,5\)

Ответ

Ответ: \(\frac{{23}}{{32}}\).

Задача 76. Найдите    \(\left( {1 + {\text{ctg}}\,\alpha } \right)\,\left( {1 + {\text{ctg}}\,\beta } \right)\),    если    \(\alpha  + \beta  = \frac{{3\pi }}{4}\)

Ответ

Ответ: 2.

Задача 77. Найдите    \(\frac{{2\sin 2\alpha  — 3\cos 2\alpha }}{{4\sin 2\alpha  + 5\cos 2\alpha }}\),    если    \(tg\alpha  = 3\)

Ответ

Ответ: -2,25.

Задача 78. Найдите    \({\text{tg}}\frac{\alpha }{2}\),    если    \(\sin \alpha  + \cos \alpha  = \frac{1}{5}\)

Ответ

Ответ: 2 или  \( — \frac{1}{3}\).

Задача 79. Найдите   \({\text{tg}}\,\alpha  + {\text{ctg}}\,\alpha \),   если   \(\cos \alpha  = \frac{m}{{\sqrt {{m^2} + {n^2}} }}\)   и   \({270^ \circ } < \alpha  < {360^ \circ }\)

Ответ

Ответ: \( — \frac{{{m^2} + {n^2}}}{{m\,\left| {\,n\,} \right|}}\).

Задача 80. Найдите    \(32\sin \frac{\alpha }{2}\,\sin \frac{{5\alpha }}{2}\),    если    \(\cos \alpha  = \frac{3}{4}\)

Ответ

Ответ: 11.

 

Текстовое решение задач:

1B 2B 3B 4B 5B 6B 7B 8B 9B 10B
11B 12B 13B 14B 15B 16B 17B 18B 19B 20B
21B 22B 23B 24B 25B 26B 27B 28B 29B 30B
31B 32B 33B 34B 35B 36B 37B 38B 39B 40B
41B 42B 43B 44B 45B 46B 47B 48B 49B 50B
51B 52B 53B 54B 55B 56B 57B 58B 59B 60B
61B 62B 63B 64B 65B 66B 67B 68B 69B 70B
71B 72B 73B 74B 75B 76B 77B 78B 79B 80B