Упрощение тригонометрических выражений. Задача 13math100admin44242025-03-24T12:00:51+03:00
Задача 13. Докажите тождество \({\sin ^2}\left( {\dfrac{{15\pi }}{8}-2\alpha } \right)-{\cos ^2}\left( {\dfrac{{17\pi }}{8}-2\alpha } \right) = -\dfrac{{\cos 4\alpha }}{{\sqrt 2 }}\)
Решение
\({\sin ^2}\left( {\dfrac{{15\pi }}{8}-2\alpha } \right)-{\cos ^2}\left( {\dfrac{{17\pi }}{8}-2\alpha } \right) = \dfrac{{1-\cos \left( {\dfrac{{15\pi }}{4}-4\alpha } \right)}}{2}-\dfrac{{1 + \cos \left( {\dfrac{{17\pi }}{4}-4\alpha } \right)}}{2} = \)
\( = \dfrac{{-\cos \left( {\dfrac{{15\pi }}{4}-4\pi -4\alpha } \right)-\cos \left( {\dfrac{{17\pi }}{4}-4\pi -4\alpha } \right)}}{2} = \dfrac{{-\left( {\cos \left( {-\dfrac{\pi }{4}-4\alpha } \right) + \cos \left( {\dfrac{\pi }{4}-4\alpha } \right)} \right)}}{2} = \)
\( = \dfrac{{-2\cos \dfrac{{-\dfrac{\pi }{4}-4\alpha + \dfrac{\pi }{4}-4\alpha }}{2}\cos \dfrac{{-\dfrac{\pi }{4}-4\alpha -\dfrac{\pi }{4} + 4\alpha }}{2}}}{2} = -\cos 4\alpha \cdot \cos \dfrac{\pi }{4} = -\dfrac{{\cos 4\alpha }}{{\sqrt 2 }}.\)