Упрощение тригонометрических выражений. Задача 48

ОТВЕТ: 2.

Заметим, что:  \(\dfrac{1}{2} = \cos {60^ \circ },\,\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \sin {60^ \circ }.\)

\(\dfrac{1}{{2\cos {{40}^ \circ }}} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{{2\sin {{40}^ \circ }}} = \dfrac{{\cos {{60}^ \circ }}}{{\cos {{40}^ \circ }}} + \dfrac{{\sin {{60}^ \circ }}}{{\sin {{40}^ \circ }}} = \dfrac{{\sin {{40}^ \circ }\cos {{60}^ \circ } + \cos {{40}^ \circ }\sin {{60}^ \circ }}}{{\cos {{40}^ \circ }\sin {{40}^ \circ }}} = \)

\( = \dfrac{{\sin \left( {{{40}^ \circ } + {{60}^ \circ }} \right)}}{{\sin {{40}^ \circ } \cdot \cos {{40}^ \circ }}} = \dfrac{{2\sin {{100}^ \circ }}}{{2\sin {{40}^ \circ }\cos {{40}^ \circ }}} = \dfrac{{2\sin \left( {{{180}^ \circ }-{{80}^ \circ }} \right)}}{{\sin {{80}^ \circ }}} = \dfrac{{2\sin {{80}^ \circ }}}{{\sin {{80}^ \circ }}} = 2.\)

Ответ:  2.