Скачать файл в формате pdf.


Алгебра 10-11 класс. Тригонометрические уравнения и неравенства


Задача 1.
Решите уравнения:    а) \(\sin x = 1\)     б) \(\sin x =  — 1\)     в) \(\sin x = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: а) \(\frac{\pi }{2} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)  б) \( — \frac{\pi }{2} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)  в) \(\pi k;\quad k \in Z.\)  

Задача 2. Решите уравнения:    а) \(\cos x = 1\)     б) \(\cos x =  — 1\)     в) \(\cos x = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: а) \(2\pi k;\quad k \in Z.\)   б) \(\pi  + 2\pi k;\quad k \in Z.\)   в) \(\frac{\pi }{2} + \pi k;\quad k \in Z.\) 

Задача 3. Решите уравнения:    а) \(\sin x = \frac{1}{2}\)     б) \(\sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)     в) \(\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Ответ

ОТВЕТ:

а) \(\frac{\pi }{6} + 2\pi k;\quad \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k;\quad k \in Z.\) б) \(\frac{\pi }{4} + 2\pi k;\;\;\frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k;\;k \in Z.\)

в) \(\frac{\pi }{3} + 2\pi k;\;\;\frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k;\;\;k \in Z.\)

Задача 4. Решите уравнения:    а) \(\cos x = \frac{1}{2}\)     б) \(\cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)     в) \(\cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Ответ

ОТВЕТ: а) \( \pm \frac{\pi }{3} + 2\pi k;\;k \in Z.\)   б) \( \pm \frac{\pi }{4} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)   в) \( \pm \frac{\pi }{6} + 2\pi k;\;\;k \in Z.\)

Задача 5. Решите уравнения:   а) \(\sin x =  — \frac{1}{2}\)    б) \(\sin x =  — \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)    в) \(\sin x =  — \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Ответ

ОТВЕТ:  а) \( — \frac{\pi }{6} + 2\pi k;\;\; — \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k;\;\;k \in Z.\) б) \( — \frac{\pi }{4} + 2\pi k;\,\, — \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k;\,\,\,k \in Z.\)

в) \( — \frac{\pi }{3} + 2\pi k;\quad  — \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k;\quad k \in Z.\) 

Задача 6. Решите уравнения:  а) \(\cos x =  — \frac{1}{2}\)   б) \(\cos x =  — \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)    в) \(\cos x =  — \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Ответ

ОТВЕТ: а) \( \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k;\,\,\,k \in Z.\)   б) \( \pm \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k;\,\,\,k \in Z.\)   в) \( \pm \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k;\,\,\,k \in Z.\)

Задача 7. Решите уравнения:    а) \({\text{tg}}\,x = 1\)     б) \({\text{tg }}x =  — 1\)     в) \({\text{ tg }}x = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: а) \(\frac{\pi }{4} + \pi k;\quad k \in Z.\)   б) \( — \frac{\pi }{4} + \pi k;\quad k \in Z.\)   в) \(\pi k;\quad k \in Z.\)

Задача 8. Решите уравнения:    а) \(\operatorname{ctg} x = 1\)     б) \({\text{ctg }}x =  — 1\)     в) \({\text{ctg }}x = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: а) \(\frac{\pi }{4} + \pi k;\;\;k \in Z.\)   б) \( — \frac{\pi }{4} + \pi k;\;\;k \in Z.\)   в) \(\frac{\pi }{2} + \pi k;\;\;k \in Z.\) 

Задача 9. Решите уравнения:    а) \({\text{tg}}\,x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)     б) \({\text{tg }}x = \sqrt 3 \)     в) \({\text{ tg }}x = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)

Ответ

ОТВЕТ: а) \(\frac{\pi }{6} + \pi k;\;\;k \in Z.\)   б) \(\frac{\pi }{3} + \pi k;\;\;k \in Z.\)   в) \(\frac{\pi }{6} + \pi k;\;\;k \in Z.\) 

Задача 10. Решите уравнения:    а) \(\operatorname{ctg} x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)     б) \({\text{ctg }}x = \sqrt 3 \)     в) \({\text{ctg }}x = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)

Ответ

ОТВЕТ: а) \(\frac{\pi }{3} + \pi k;\;\;k \in Z.\)  б) \(\frac{\pi }{6} + \pi k;\;\;k \in Z.\)  в) \(\frac{\pi }{3} + \pi k;\;\;k \in Z.\) 

Задача 11. Решите уравнения:   а) \({\text{tg}}\,x =  — \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)    б) \({\text{tg }}x =  — \sqrt 3 \)    в) \({\text{ tg }}x =  — \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)

Ответ

ОТВЕТ: а) \( — \frac{\pi }{6} + \pi k;\;\;k \in Z.\)  б) \( — \frac{\pi }{3} + \pi k;\;\;k \in Z.\)  в) \( — \frac{\pi }{6} + \pi k;\;\;k \in Z.\)

Задача 12. Решите уравнения:  а) \(\operatorname{ctg} x =  — \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)   б) \({\text{ctg }}x =  — \sqrt 3 \)   в) \({\text{ctg }}x =  — \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)

Ответ

ОТВЕТ: а) \( — \frac{\pi }{3} + \pi k;\;\;k \in Z.\)  б) \( — \frac{\pi }{6} + \pi k;\quad k \in Z.\)  в) \( — \frac{\pi }{3} + \pi k;\quad k \in Z.\) 

Задача 13. Решите уравнения:    а) \(\sin x = \frac{1}{3}\)     б) \(\sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\)     в) \(\sin x = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\)

Ответ

ОТВЕТ:

а) \(\arcsin \frac{1}{3} + 2\pi k;\,\,\,\,\pi  — \arcsin \frac{1}{3} + 2\pi k;\;\;k \in Z.\)

б) \(\arcsin \frac{{\sqrt 2 }}{3} + 2\pi k;\;\;\pi  — \arcsin \frac{{\sqrt 2 }}{3} + 2\pi k;\quad k \in Z.\) в) нет решений.

Задача 14. Решите уравнения:    а) \(\cos x = \frac{2}{3}\)     б) \(\cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)     в) \(\cos x = \frac{{\sqrt 7 }}{2}\)

Ответ

ОТВЕТ: а) \( \pm \arccos \frac{2}{3} + 2\pi k;\;\;k \in Z.\)   б) \( \pm \arccos \frac{{\sqrt 3 }}{3} + 2\pi k;\;\;k \in Z.\)   в) нет решений.

Задача 15. Решите уравнения:    а) \({\text{tg}}\,x = 2\)     б) \({\text{tg }}x = \frac{1}{2}\)     в) \({\text{ tg }}x = \frac{\pi }{2}\)

Ответ

ОТВЕТ: а) \({\text{arctg}}2 + \pi k;\;\;\,k \in Z.\)  б) \(\operatorname{arctg} \frac{1}{2} + \pi k;\,\,\,k \in Z.\)  в) \(\operatorname{arctg} \frac{\pi }{2} + \pi k;\,\,\,k \in Z.\) 

Задача 16. Решите уравнения:    а) \(\operatorname{ctg} x = 3\)     б) \({\text{ctg }}x = \frac{3}{2}\)     в) \({\text{ctg }}x = \frac{{2\pi }}{3}\)

Ответ

ОТВЕТ: а) \(\operatorname{arcctg} 3 + \pi k;\quad k \in Z.\)   б) \(\operatorname{arcctg} \frac{3}{2} + \pi k;\quad k \in Z.\)  в) \(\operatorname{arcctg} \frac{{2\pi }}{3} + \pi k;\quad k \in Z.\) 

Задача 17. Решите уравнения:   а) \(\sin x =  — \frac{2}{3}\)    б) \(\sin x =  — \frac{{\sqrt 2 }}{3}\)    в) \(\sin x =  — \frac{{\sqrt 5 }}{2}\)

Ответ

ОТВЕТ:

а) \( — \arcsin \frac{2}{3} + 2\pi k;\quad \pi  + \arcsin \frac{2}{3} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)

б) \( — \arcsin \frac{{\sqrt 2 }}{3} + 2\pi k;\,\,\,\,\,\pi  + \arcsin \frac{{\sqrt 2 }}{3} + 2\pi k;\quad k \in Z\)    в) нет решений.

Задача 18. Решите уравнения:   а) \(\cos x =  — \frac{1}{3}\)   б) \(\cos x =  — \frac{{\sqrt 2 }}{3}\)    в) \(\cos x =  — \frac{{\sqrt 7 }}{2}\)

Ответ

ОТВЕТ: а) \( \pm \left( {\pi  — \arccos \frac{1}{3}} \right) + 2\pi k;\quad k \in Z.\)  б) \( \pm \left( {\pi  — \arccos \frac{{\sqrt 2 }}{3}} \right) + 2\pi k;\quad k \in Z.\)   в) нет решений.

Задача 19. Решите уравнения:    а) \({\text{tg}}\,x =  — 3\)     б) \({\text{tg }}x =  — \frac{4}{7}\)     в) \({\text{ tg }}x =  — \frac{\pi }{2}\)

Ответ

ОТВЕТ: а) \( — {\text{arctg}}3 + \pi k;\quad k \in Z.\)   б) \( — {\text{arctg}}\frac{4}{7} + \pi k;\;\;k \in Z.\)  в) \( — {\text{arctg}}\frac{\pi }{2} + \pi k;\;k \in Z.\) 

Задача 20. Решите уравнения:    а) \(\operatorname{ctg} x =  — 13\)     б) \({\text{ctg }}x =  — \frac{3}{4}\)     в) \({\text{ctg }}x =  — \frac{\pi }{3}\)

Ответ

ОТВЕТ: а) \( — {\text{arcctg13}} + \pi k;\;\;k \in Z.\) б) \( — {\text{arcctg}}\frac{3}{4} + \pi k;\quad k \in Z.\) в) \( — {\text{arcctg}}\frac{\pi }{3} + \pi k;\quad k \in Z.\)

Задача 21. Решите уравнения:  а) \(\sin 2x =  — \frac{1}{2}\)   б) \(\sin 5x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)   в) \(\sin \frac{x}{3} =  — \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Ответ

ОТВЕТ:  а) \( — \frac{\pi }{{12}} + \pi k;\,\,\,\, — \frac{{5\pi }}{{12}} + \pi k;\,\,\,\,k \in Z.\)    б) \(\frac{\pi }{{20}} + \frac{{2\pi k}}{5};\quad \frac{{3\pi }}{{20}} + \frac{{2\pi k}}{5};\,\,\,\,k \in Z.\)

в) \( — \pi  + 6\pi k;\,\,\,\, — 2\pi  + 6\pi k;\;\;k \in Z.\)

Задача 22. Решите уравнения:  а) \(\cos 4x =  — \frac{1}{2}\)   б) \(\cos 3x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)   в) \(\cos \frac{x}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Ответ

ОТВЕТ: а) \( \pm \frac{\pi }{6} + \frac{{\pi k}}{2};\,\,\,k \in Z.\)  б) \( \pm \frac{\pi }{{12}} + \frac{{2\pi k}}{3};\,\,\,\,k \in Z.\)  в) \( \pm \frac{\pi }{3} + 4\pi k;\,\,\,\,k \in Z\) 

Задача 23. Решите уравнения:  а) \(\sin 4x = \frac{1}{4}\)   б) \(\sin \frac{{2x}}{3} = \frac{{\sqrt 2 }}{5}\)   в) \(\sin 6x =  — \frac{{\sqrt 3 }}{7}\)

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(\frac{1}{4}\arcsin \frac{1}{4} + \frac{{\pi k}}{2};\quad \frac{\pi }{4} — \frac{1}{4}\arcsin \frac{1}{4} + \frac{{\pi k}}{2};\quad k \in Z.\)

б) \(\frac{{3\pi }}{2} — \frac{3}{2}arcsin\frac{{\sqrt 2 }}{5} + 3\pi k;\quad \frac{3}{2}arcsin\frac{{\sqrt 2 }}{5} + 3\pi k;\quad k \in Z.\)

в) \( — \frac{1}{6}\arcsin \frac{{\sqrt 3 }}{7} + \frac{{\pi k}}{3};\,\,\,\,\,\, — \frac{\pi }{6} + \frac{1}{6}\arcsin \frac{{\sqrt 3 }}{7} + \frac{{\pi k}}{3};\quad k \in Z.\)

Задача 24. Решите уравнения:  а) \(\cos 2x = \frac{1}{3}\)    б) \(\cos 7x =  — \frac{1}{5}\)    в) \(\cos \frac{{3x}}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\)

Ответ

ОТВЕТ:  а) \( \pm \frac{1}{2}\arccos \frac{1}{3} + \pi k;\quad k \in Z.\)  б) \( \pm \frac{1}{7}\arccos \left( { — \frac{1}{5}} \right) + \frac{{2\pi k}}{7};\quad k \in Z.\)

в) \( \pm \frac{2}{3}\arccos \frac{{\sqrt 3 }}{4} + \frac{{4\pi k}}{3};\;\;k \in Z.\) 

Задача 25. Решите уравнения:  а) \(\sin \left( { — 4x} \right) = \frac{1}{4}\)  б) \(\sin \left( { — \frac{x}{3}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{5}\)  в) \(\sin \left( { — 6x} \right) =  — \frac{{\sqrt 3 }}{7}\)

Ответ

ОТВЕТ:  а) \( — \frac{1}{4}\arcsin \frac{1}{4} + \frac{{\pi k}}{2};\quad \frac{1}{4}\left( { — \pi  + \arcsin \frac{1}{4}} \right) + \frac{{\pi k}}{2};\quad k \in Z.\)

б) \( — 3\arcsin \frac{{\sqrt 2 }}{5} + 6\pi k;\,\,\,\,\, — 3\left( {\pi  — \arcsin \frac{{\sqrt 2 }}{5}} \right) + 6\pi k;\;k \in Z.\)

в) \(\frac{1}{6}\arcsin \frac{{\sqrt 3 }}{7} + \frac{{\pi k}}{3};\,\,\,\,\,\frac{1}{6}\left( {\pi  — \arcsin \frac{{\sqrt 3 }}{7}} \right) + \frac{{\pi k}}{3};\;k \in Z.\)

Задача 26. Решите уравнения:  а) \(\cos \left( { — 2x} \right) =  — \frac{1}{3}\)  б) \(\cos \left( { — 7x} \right) = \frac{2}{5}\)  в) \(\cos \left( { — \frac{{2x}}{3}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\)

Ответ

ОТВЕТ:  а) \( \pm \frac{1}{2}\arccos \left( { — \frac{1}{3}} \right) + \pi k;\quad k \in Z.\)  б) \( \pm \frac{1}{7}\arccos \frac{2}{5} + \frac{{2\pi k}}{7};\quad k \in Z.\)

в) \( \pm \frac{3}{2}\arccos \frac{{\sqrt 3 }}{6} + 3\pi k;\quad k \in Z.\) 

Задача 27. Решите уравнения:    а) \({\text{tg}}\,3x =  — \sqrt 3 \)     б) \({\text{tg 5}}x =  — \frac{4}{7}\)     в) \({\text{ tg }}\frac{{2x}}{5} = 1\)

Ответ

ОТВЕТ: а) \( — \frac{\pi }{9} + \frac{{\pi k}}{3};\,\,k \in Z.\)   б) \( — \frac{1}{5}arctg\frac{4}{7} + \frac{{\pi k}}{5};\,\,k \in Z.\)   в) \(\frac{{5\pi }}{8} + \frac{{5\pi k}}{2};\,\,\,k \in Z.\) 

Задача 28. Решите уравнения:    а) \(\operatorname{ctg} 3x =  — 1\)   б) \({\text{ctg 2}}x = 0\)   в) \({\text{ctg }}\frac{x}{4} =  — \sqrt 3 \)

Ответ

ОТВЕТ: а) \( — \frac{\pi }{{12}} + \frac{{\pi k}}{3};\,\,\,k \in Z.\)   б) \(\frac{\pi }{4} + \frac{{\pi k}}{2};\,\,\,\,k \in Z.\)   в) \( — \frac{{2\pi }}{3} + 4\pi k;\,\,\,\,k \in Z.\)

Задача 29. Решите уравнения:  а) \({\text{tg}}\,\left( { — 3x} \right) = \sqrt 3 \)  б) \({\text{tg}}\left( { — {\text{5}}x} \right) = 0\)  в) \({\text{ tg}}\left( { — \frac{{2x}}{5}} \right) = 1\)

Ответ

ОТВЕТ: а)\( — \frac{\pi }{9} + \frac{{\pi k}}{3};\quad k \in Z.\)   б) \(\frac{{\pi k}}{5};\quad k \in Z.\)   в) \( — \frac{{5\pi }}{8} + \frac{{5\pi k}}{2};\quad k \in Z.\) 

Задача 30. Решите уравнения:  а) \(\operatorname{ctg} \left( { — 3x} \right) =  — 1\)  б) \({\text{ctg}}\left( { — {\text{2}}x} \right) = 1\)  в) \({\text{ctg}}\left( { — \frac{x}{4}} \right) =  — \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)

Ответ

ОТВЕТ: а) \(\frac{\pi }{{12}} + \frac{{\pi k}}{3};\,\,\,k \in Z.\)   б) \( — \frac{\pi }{8} + \frac{{\pi k}}{2};\,\,\,k \in Z.\)   в) \(\frac{{4\pi }}{3} + 4\pi k;\,\,\,\,k \in Z.\) 

Задача 31. Решите уравнения:  а) \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{2}\)     б) \(2\sin \left( {\frac{{2x}}{5} — \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 1\)     в) \(\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{3} — 6x} \right) = 1\)

Ответ

ОТВЕТ:  а) \( — \frac{\pi }{{12}} + 2\pi k;\,\,\frac{{7\pi }}{{12}} + 2\pi k;\,\,\,k \in Z.\)  б) \(\frac{{15\pi }}{4} + 5\pi k;\,\,\,\,\,\frac{{25\pi }}{{12}} + 5\pi k;\,\,\,k \in Z.\)

в) \(\frac{\pi }{{72}} + \frac{{\pi k}}{3};\quad  — \frac{{5\pi }}{{72}} + \frac{{\pi k}}{3};\quad k \in Z.\)

Задача 32. Решите уравнения:  а) \(2\cos \left( {2x — \frac{\pi }{2}} \right) =  — 1\)    б) \(\cos \left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1\)    в) \(\cos \left( {\frac{\pi }{6} — \frac{{2x}}{3}} \right) =  — \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Ответ

ОТВЕТ:  а) \( — \frac{{5\pi }}{{12}} + \pi k;\,\,\,\,\,\, — \frac{\pi }{{12}} + \pi k;\quad k \in Z.\)   б) \( — \frac{\pi }{{12}} + \frac{{2\pi k}}{3};\quad k \in Z.\)

в) \(\frac{{3\pi }}{2} + 3\pi k;\,\,\,\,\, — \pi  + 3\pi k;\quad k \in Z.\) 

Задача 33. Решите уравнения:  а) \({\text{tg}}\,\left( {3x — \frac{\pi }{6}} \right) =  — \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)   б) \(\sqrt 3 {\text{tg}}\left( {\frac{{2\pi }}{3} — 4x} \right) =  — 3\)   в) \({\text{ tg}}\left( { — x — \frac{\pi }{3}} \right) = \sqrt 3 \)

Ответ

ОТВЕТ: а) \(\frac{{\pi k}}{3};\quad k \in Z.\)  б) \(\frac{{\pi k}}{4};\quad k \in Z.\)  в) \( — \frac{{2\pi }}{3} + \pi k;\quad k \in Z.\) 

Задача 34. Решите уравнения:  а) \(2\operatorname{ctg} \left( {3x — \frac{\pi }{4}} \right) =  — 2\)    б) \({\text{ctg }}\left( {{\text{2}}x + \frac{\pi }{2}} \right) = 0\)    в) \(\sqrt 3 {\text{ctg }}\left( {\frac{\pi }{4} — \frac{x}{4}} \right) =  — 1\)

Ответ

ОТВЕТ: а) \(\frac{{\pi k}}{3};\quad k \in Z.\)   б) \(\frac{{\pi k}}{2};\quad k \in Z.\)   в) \(\frac{{7\pi }}{3} + 4\pi k;\quad k \in Z.\)