| Задача 1. Решите неравенство: \(\sin \left( {x — \frac{\pi }{6}} \right) > 0.\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\left( {\frac{\pi }{6} + 2\pi k;\,\,\frac{{7\pi }}{6} + 2\pi k} \right),\,\,\,k \in Z.\)
|
| Задача 2. Решите неравенство: \(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) \leqslant \frac{1}{2}.\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\left[ {\frac{\pi }{4} + \pi k;\,\,\frac{{11\pi }}{{12}} + \pi k} \right],\,\,\,k \in Z.\)
|
| Задача 3. Решите неравенство: \(\cos \left( {2x — \frac{\pi }{4}} \right) > \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\left( {\pi k;\,\,\frac{\pi }{4} + \pi k} \right),\,\,\,k \in Z.\)
|
| Задача 4. Решите неравенство: \(\cos \left( {3x — \frac{\pi }{6}} \right) \leqslant — \frac{1}{2}.\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\left[ {\frac{{5\pi }}{{18}} + \frac{{2\pi k}}{3};\,\,\frac{\pi }{2} + \frac{{2\pi k}}{3}} \right],\,\,\,k \in Z.\)
|
| Задача 5. Решите неравенство: \({\text{tg}}\,\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) > \sqrt 3 .\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\left( {\frac{\pi }{{12}} + \pi k;\,\,\frac{\pi }{4} + \pi k} \right),\,\,\,k \in Z.\)
|
| Задача 6. Решите неравенство: \({\text{tg}}\,2x < 1.\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\left( { — \frac{\pi }{4} + \frac{{\pi k}}{2};\,\,\frac{\pi }{8} + \frac{{\pi k}}{2}} \right),\,\,\,k \in Z.\)
|
| Задача 7. Решите неравенство: \({\text{ctg}}\,\left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) > \sqrt 3 .\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\left( { — \frac{\pi }{6} + \frac{{\pi k}}{2};\,\, — \frac{\pi }{{12}} + \frac{{\pi k}}{2}} \right),\,\,\,k \in Z.\)
|
| Задача 8. Решите неравенство: \({\text{ctg}}\,\left( {x — \frac{\pi }{6}} \right) \leqslant — 1.\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\left[ {\frac{{11\pi }}{{12}} + \pi k;\,\,\frac{{7\pi }}{6} + \pi k} \right),\,\,\,k \in Z.\)
|
| Задача 9. Решите неравенство: \(2{\sin ^2}x — \sin x < 0.\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\left( {2\pi k;\,\,\frac{\pi }{6} + 2\pi k} \right) \cup \left( {\frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k;\,\,\pi + 2\pi k} \right),\,\,\,k \in Z.\)
|
| Задача 10. Решите неравенство: \(2{\sin ^2}x + \sqrt 3 \sin x \geqslant 0.\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\left[ {2\pi k;\,\,\pi + 2\pi k} \right] \cup \left[ {\frac{{4\pi }}{3} + 2\pi k;\,\,\frac{{5\pi }}{3} + 2\pi k} \right],\,\,\,k \in Z.\)
|
| Задача 11. Решите неравенство: \(2{\cos ^2}x — \sqrt 2 \cos x < 0.\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\left( { — \frac{\pi }{2} + 2\pi k;\,\, — \frac{\pi }{4} + 2\pi k} \right) \cup \left( {\frac{\pi }{4} + 2\pi k;\,\,\frac{\pi }{2} + 2\pi k} \right),\,\,\,k \in Z.\)
|
| Задача 12. Решите неравенство: \(4{\cos ^2}x + \sqrt {12} \cos x \geqslant 0.\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\left[ { — \frac{\pi }{2} + 2\pi k;\,\,\frac{\pi }{2} + 2\pi k} \right] \cup \left[ {\frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k;\,\,\frac{{7\pi }}{6} + 2\pi k} \right],\,\,\,k \in Z.\)
|
| Задача 13. Решите неравенство: \({\text{t}}{{\text{g}}^2}\,x + {\text{tg}}\,x < 0.\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\left( { — \frac{\pi }{4} + \pi k;\,\,\pi k} \right),\,\,\,\,k \in Z.\)
|
| Задача 14. Решите неравенство: \({\text{ctg}}{\,^2}x — \sqrt 3 {\text{ctg}}\,x \geqslant 0.\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\left( {\pi k;\,\,\frac{\pi }{6} + \pi k} \right] \cup \left[ {\frac{\pi }{2} + \pi k;\,\pi + \pi k} \right),\,\,\,\,\,k \in Z.\)
|
| Задача 15. Решите неравенство: \({\sin ^2}\,x > \frac{1}{2}.\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\left( {\frac{\pi }{4} + \pi k;\,\,\frac{{3\pi }}{4} + \pi k} \right),\,\,\,k \in Z.\)
|
| Задача 16. Решите неравенство: \({\cos ^2}x \leqslant \frac{1}{2}.\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\left[ {\frac{\pi }{4} + \pi k;\,\,\frac{{3\pi }}{4} + \pi k} \right],\,\,\,k \in Z.\)
|
| Задача 17. Решите неравенство: \({\text{t}}{{\text{g}}^2}x > 1.\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\left( { — \frac{\pi }{2} + \pi k;\,\, — \frac{\pi }{4} + \pi k} \right) \cup \left( {\frac{\pi }{4} + \pi k;\,\,\frac{\pi }{2} + \pi k} \right),\,\,\,k \in Z.\)
|
| Задача 18. Решите неравенство: \({\text{ct}}{{\text{g}}^2}x < 3.\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\left( {\frac{\pi }{6} + \pi k;\,\,\frac{{5\pi }}{6} + \pi k} \right),\,\,\,k \in Z.\)
|
| Задача 19. Решите неравенство: \(2{\sin ^2}x + 5\sin x + 2 > 0.\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\left( { — \frac{\pi }{6} + 2\pi k;\,\,\frac{{7\pi }}{6} + 2\pi k} \right),\,\,\,k \in Z.\)
|
| Задача 20. Решите неравенство: \(2{\cos ^2}x + \cos x — 1 < 0.\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\left( {\frac{\pi }{3} + 2\pi k;\,\,\pi + 2\pi k} \right) \cup \left( {\pi + 2\pi k;\,\,\frac{{5\pi }}{3} + 2\pi k} \right),\,\,\,k \in Z.\)
|
| Задача 21. Решите неравенство: \({\text{t}}{{\text{g}}^2}x — \left( {1 + \sqrt 3 } \right){\text{tg}}\,x + \sqrt 3 < 0.\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\left( {\frac{\pi }{4} + \pi k;\,\,\frac{\pi }{3} + \pi k} \right),\,\,\,k \in Z.\)
|
| Задача 22. Решите неравенство: \({\text{ct}}{{\text{g}}^2}x + \left( {1 + \sqrt 3 } \right){\text{ctg}}\,x + \sqrt 3 \geqslant 0.\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\left( {\pi k;\,\,\frac{{3\pi }}{4} + \pi k} \right] \cup \left[ {\frac{{5\pi }}{6} + \pi k;\,\pi + \pi k} \right),\,\,\,\,\,k \in Z.\)
|
| Задача 23. Решите неравенство: \(2\sin x — \frac{1}{{\sin x}} + 1 \geqslant 0.\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\left[ {\frac{\pi }{6} + 2\pi k;\,\,\frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k} \right] \cup \left( {\pi + 2\pi k;\,\,2\pi + 2\pi k} \right),\,\,\,\,k \in Z.\)
|
| Задача 24. Решите неравенство: \(2\cos x — \frac{1}{{\cos x}} — 1 \leqslant 0.\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\left( { — \frac{\pi }{2} + 2\pi k;\,\,\frac{\pi }{2} + 2\pi k} \right) \cup \left[ {\frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k;\,\,\frac{{4\pi }}{3} + 2\pi k} \right],\,\,\,\,k \in Z.\)
|
| Задача 25. Решите неравенство: \({\text{tg}}\,x — \frac{3}{{{\text{tg}}\,x}} > 0.\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\left( { — \frac{\pi }{3} + \pi k;\,\,\pi k} \right) \cup \left( {\frac{\pi }{3} + \pi k;\,\,\frac{\pi }{2} + \pi k} \right),\,\,\,k \in Z.\)
|
| Задача 26. Решите неравенство: \({\text{ctg}}\,x — \frac{4}{{{\text{ctg}}\,x}} + 3 < 0.\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\left( {\frac{\pi }{4} + \pi k;\,\,\frac{\pi }{2} + \pi k} \right) \cup \left( {\pi — {\text{arcctg}}\,4 + \,\,\pi k;\,\,\pi + \pi k} \right),\,\,\,k \in Z.\)
|
| Задача 27. Решите неравенство: \({\sin ^2}x + 2 \leqslant 2\cos x.\)
Ответ
ОТВЕТ: \(2\pi k,\,\,\,\,k \in Z.\)
|
| Задача 28. Решите неравенство: \({\sin ^2}x + \cos x \leqslant 1.\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\left\{ {2\pi k} \right\} \cup \left[ {\frac{\pi }{2} + 2\pi k;\,\,\frac{{3\pi }}{2} + 2\pi k} \right],\,\,\,k \in Z.\)
|
| Задача 29. Решите неравенство: \(\sin 4x \geqslant \cos 2x.\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\left[ {\frac{\pi }{{12}} + \pi k;\,\,\frac{\pi }{4} + \pi k} \right] \cup \left[ {\frac{{5\pi }}{{12}} + \pi k;\,\,\frac{{3\pi }}{4} + \pi k} \right],\,\,\,k \in Z.\)
|
| Задача 30. Решите неравенство: \(\frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{1 + 2\cos x}} \leqslant 0.\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\left( {\frac{{2\pi }}{3} + 4\pi k;\,\frac{{4\pi }}{3} + 4\pi k} \right) \cup \left[ {2\pi + 4\pi k;\,\,\frac{{8\pi }}{3} + 4\pi k} \right) \cup \left( {\frac{{10\pi }}{3} + 4\pi k;\,4\pi + 4\pi k} \right],\,\,\,k \in Z.\)
|
| Задача 31. Решите неравенство: \(4 — 3\cos 4x < 10\sin x\cos x.\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\left( {\frac{1}{2}{\text{arcsin}}\frac{1}{3} + \pi k;\,\,\frac{\pi }{{12}} + \pi k} \right) \cup \left( {\frac{{5\pi }}{{12}} + \pi k;\,\,\frac{\pi }{2} — \frac{1}{2}{\text{arcsin}}\frac{1}{3} + \pi k} \right),\,\,\,\,k \in Z.\)
|
| Задача 32. Решите неравенство: \(\frac{{27}}{4}\cos \frac{x}{4} \leqslant {\cos ^3}\frac{x}{4} + \sin \frac{x}{2}.\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\left[ {2\pi + 8\pi k;\,\,6\pi + 8\pi k} \right],\,\,\,k \in Z.\)
|
| Задача 33. Решите неравенство: \({\sin ^2}x — \sqrt 2 \cos \left( {2x — \frac{\pi }{4}} \right) < 1.\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\left( {{\text{arctg}}\,\left( {1 — \sqrt 3 } \right) + \pi k;\,\,{\text{arctg}}\,\left( {1 + \sqrt 3 } \right) + \pi k} \right),\,\,\,k \in Z.\)
|
| Задача 34. Решите неравенство: \(4{\sin ^3}x + 4{\cos ^2}x \geqslant 1 + 3\sin x.\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\left[ { — \frac{\pi }{3} + \pi k;\,\,\frac{\pi }{3} + \pi k} \right] \cup \left\{ {\frac{\pi }{2} + 2\pi k} \right\},\,\,\,k \in Z.\)
|
| Задача 35. Решите неравенство: \(\sqrt {3{\text{ctg}}\,x — 2} \leqslant {\text{ctg}}\,x.\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\left( {\pi k;\,\,{\text{arcctg}}\,2 + \pi k} \right] \cup \left[ {\frac{\pi }{4} + \pi k;\,{\text{arcctg}}\,\frac{2}{3} + \pi k} \right],\,\,\,\,\,k \in Z.\)
|