Задача 26. Решите неравенство: \({\text{ctg}}\,x-\dfrac{4}{{{\text{ctg}}\,x}} + 3 < 0.\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\left( {\dfrac{\pi }{4} + \pi k;\,\,\dfrac{\pi }{2} + \pi k} \right) \cup \left( {\pi -{\text{arcctg}}\,4 + \,\,\pi k;\,\,\pi + \pi k} \right),\,\,\,k \in Z.\)
Решение
\({\rm{ctg}}\,x-\dfrac{4}{{{\rm{ctg}}\,x}} + 3 < 0.\)
Пусть \({\rm{ctg}}\,x = t.\) Тогда:
\(t-\dfrac{4}{t} + 3 < 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{{t^2} + 3t-4}}{t} < 0.\)
Следовательно: \(t \in \,\left( {-\infty ;\,-4} \right) \cup \left( {0;\,1} \right).\) Возвращаясь к прежней переменной, получим:
\(\left[ \begin{array}{l}{\rm{ctg}}\,x < -4,\\0 < {\rm{ctg}}\,x < 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left( {\dfrac{\pi }{4} + \pi k;\dfrac{\pi }{2} + \pi k} \right) \cup \left( {\pi -{\rm{arcctg}}\,4;\pi + \pi k} \right),\,\,\,\,k\, \in \,Z.\)
Ответ: \(\left( {\dfrac{\pi }{4} + \pi k;\dfrac{\pi }{2} + \pi k} \right) \cup \left( {\pi -{\rm{arcctg}}\,4;\pi + \pi k} \right),\,\,\,\,k\, \in \,Z.\)