Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений. Задача 1

ОТВЕТ:  \(\dfrac{\pi }{6} + 2\pi k;\quad \,\dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)

\(2{\cos ^2}x = 3\sin x\)

Так как \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\), то \({\cos ^2}x = 1-{\sin ^2}x\). Тогда уравнение примет вид:

\(2\left( {1-{{\sin }^2}x} \right) = 3\sin x\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,2{\sin ^2}x + 3\sin x-2 = 0.\)

Пусть \(\sin x = t,\,\,\,\,t\, \in \,\left[ {-1;1} \right]\). Тогда:

\(2{t^2} + 3t-2 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \dfrac{1}{2},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{t = -2\,\,\, \notin \,\left[ {-1;1} \right].}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(\sin x = \dfrac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{\pi }{6} + 2\pi k,\,\,\,}\\{x = \dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\)

Ответ: \(\dfrac{\pi }{6} + 2\pi k;\quad \,\dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)