Однородные тригонометрические уравнения. Задача 17

Задача 17. Решите уравнение: \({\sin ^2}x = 3{\cos ^2}x\)

Ответ

ОТВЕТ: \( \pm \dfrac{\pi }{3} + \pi k;\,\,\,\,\,\,\,k \in Z.\)

Решение

\({\sin ^2}x = 3{\cos ^2}x.\)

Однородное тригонометрическое уравнение второй степени.

\({\sin ^2}x = 3{\cos ^2}x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}x = 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{tg}}\,x = \sqrt 3 ,\,\,\,}\\{{\rm{tg}}\,x = -\sqrt 3 }\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{\pi }{3} + \pi k,}\\{x = -\dfrac{\pi }{3} + \pi k,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \pm \dfrac{\pi }{3} + \pi k,\;\;\;\;k \in Z.\)

Ответ: \( \pm \dfrac{\pi }{3} + \pi k;\,\,\,\,\,\,\,k \in Z.\)