Однородные тригонометрические уравнения. Задача 26

ОТВЕТ: \(-{\text{arctg}}\dfrac{{\text{3}}}{2}{\text{ + }}\pi k;\quad \pi k;\quad k \in Z.\)

\(2{\sin ^2}x-3\sin x\cos x + 4{\cos ^2}x = 4.\)

Так как \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1,\) то \(4 = 4 \cdot 1 = 4\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right).\) Тогда уравнение примет вид:

\(2{\sin ^2}x-3\sin x\cos x + 4{\cos ^2}x = 4\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right).\)

\(2{\sin ^2}x + 3\sin x\cos x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\sin x\left( {2\sin x + 3\cos x} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,\;\;\;\;\;}\\{{\rm{2tg}}\,x + 3 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,}\\{{\rm{tg}}\,x = -\dfrac{3}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x = -{\rm{arctg}}\,\,\dfrac{3}{2} + \pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\)

Ответ:  \(-{\rm{arctg}}\dfrac{{\rm{3}}}{2}{\rm{ + }}\pi k;\quad \pi k;\quad k \in Z.\)