Уравнение вида a sin x + b cos x = c. Задача 13

ОТВЕТ: \(\arcsin \dfrac{3}{{13}}-\arcsin \dfrac{5}{{13}} + 2\pi k;\quad \pi -\arcsin \dfrac{3}{{13}}-\arcsin \dfrac{5}{{13}} + 2\pi k;\quad \,k \in Z.\)

\(12\sin x + 5\cos x = 3.\)

Уравнение вида:  \(a\sin x + b\cos x = c,\;\;\)где \(\;a = 12,\,\,\,\,b = 5,\;\;c = 3.\)

Разделим обе части исходного уравнения на  \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} ,\;\) то есть на  \(\sqrt {{{12}^2} + {5^2}}  = 13.\)

\(\dfrac{{12}}{{13}}\sin x + \dfrac{5}{{13}}\cos x = \dfrac{3}{{13}}.\)

Так как  \({\left( {\dfrac{{12}}{{13}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{5}{{13}}} \right)^2} = 1,\)  то пусть  \(\cos \varphi  = \dfrac{{12}}{{13}},\,\,\,\sin \varphi  = \dfrac{5}{{13}}.\)  Тогда уравнение примет вид:

\(\dfrac{{12}}{{13}}\sin x + \dfrac{5}{{13}}\cos x = \dfrac{3}{{13}}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\cos \varphi \sin x + \sin \varphi \cos x = \dfrac{3}{{13}}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\sin \left( {x + \varphi } \right) = \dfrac{3}{{13}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + \varphi  = \arcsin \dfrac{3}{{13}} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,}\\{x + \varphi  = \pi -\arcsin \dfrac{3}{{13}} + 2\pi k}\end{array}} \right.\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \arcsin \dfrac{3}{{13}}-\varphi  + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x = \pi -\arcsin \dfrac{3}{{13}}-\varphi  + 2\pi k,}\end{array}} \right.\,\,\,\,k \in Z.\)

Так как  \(\sin \varphi  = \dfrac{5}{{13}},\)  то   \(\varphi  = \arcsin \dfrac{5}{{13}}\)  и  

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \arcsin \dfrac{3}{{13}}-\arcsin \dfrac{5}{{13}} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x = \pi -\arcsin \dfrac{3}{{13}}-\arcsin \dfrac{5}{{13}} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,k \in Z.\)

Ответ:  \(\arcsin \dfrac{3}{{13}}-\arcsin \dfrac{5}{{13}} + 2\pi k;\quad \pi -\arcsin \dfrac{3}{{13}}-\arcsin \dfrac{5}{{13}} + 2\pi k;\quad \,k \in Z.\)