Уравнение вида a sin x + b cos x = c. Задача 5

ОТВЕТ: \(2\pi k;\;\;\;\dfrac{\pi }{2} + 2\pi k;\;\;\;k \in Z.\)

\(\sin x + \cos x = 1.\)

Уравнение вида:  \(a\sin x + b\cos x = c,\;\;\)где \(\;a = 1,\,\,\,\,b = 1,\;\;c = 1.\)

Разделим обе части исходного уравнения на \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} ,\;\) то есть на  \(\sqrt {{1^2} + {1^2}}  = \sqrt 2 .\)

\(\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\sin x + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\cos x = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos \dfrac{\pi }{4}\sin x + \sin \dfrac{\pi }{4}\cos x = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{4} + 2\pi k,\,\;\;\;\,\,\,}\\{x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k\,\,\,\,\,\,\,}\end{array} \Leftrightarrow \;\;\;\;} \right.\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2\pi k,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,}\\{x = \dfrac{\pi }{2} + 2\pi k,\;\,\,\,\,\,\,}\end{array}k\, \in \,Z.} \right.\)

Ответ:  \(2\pi k;\;\;\;\dfrac{\pi }{2} + 2\pi k;\;\;\;k \in Z.\)