Уравнение вида a sin x + b cos x = c. Задача 6

ОТВЕТ: \(2\pi k;\;\;-\;\dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi k;\;\;\;k \in Z.\)

\(\sqrt 3 \sin x-\cos x = -1.\)

Уравнение вида:  \(a\sin x + b\cos x = c,\;\;\)где \(\;a = \sqrt 3 ,\,\,\,\,b = -1,\;\;c = -1.\)

Разделим обе части исходного уравнения на  \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} ,\;\) то есть на  \(\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {-1} \right)}^2}}  = 2.\)

\(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x-\dfrac{1}{2}\cos x = -\dfrac{1}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos \dfrac{\pi }{6}\sin x-\sin \dfrac{\pi }{6}\cos x = -\dfrac{1}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin \left( {x-\dfrac{\pi }{6}} \right) = -\dfrac{1}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-\dfrac{\pi }{6} = -\dfrac{\pi }{6} + 2\pi k,\,\;\;\;\,\,\,}\\{x-\dfrac{\pi }{6} = -\dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k\,\,\,\,\,\,\,}\end{array} \Leftrightarrow \;\;\;\;} \right.\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2\pi k,\,\;\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,}\\{x = -\dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,\;\,\,\,\,\,\,}\end{array}k\, \in \,Z.} \right.\)

Ответ:  \(2\pi k;\;\;-\;\dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi k;\;\;\;k \in Z.\)