Алгебра 10-11 класс. Отбор корней тригонометрических уравнений, принадлежащих промежутку

Задача 1. Решите уравнение: \(\cos \dfrac{{\pi \left( {4x — 7} \right)}}{3} = \dfrac{1}{2}.\) В ответ запишите наименьший положительный корень.

Ответ

ОТВЕТ: 0,5.

Задача 2. Решите уравнение: \(\cos 2\pi \,x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\) В ответ запишите наибольший отрицательный корень.

Ответ

ОТВЕТ: -0,125.

Задача 3. Решите уравнение: \(\sin \dfrac{{\pi \left( {2x — 1} \right)}}{4} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\) В ответ запишите наибольший отрицательный корень.

Ответ

ОТВЕТ: -2.

Задача 4. Решите уравнение: \(\sin \dfrac{{\pi \left( {x + 1} \right)}}{3} = — \dfrac{1}{2}.\) В ответ запишите наименьший положительный корень.

Ответ

ОТВЕТ: 2,5.

Задача 5. Решите уравнение: \(\cos \dfrac{{\pi \left( {1 — x} \right)}}{4} = — 1.\) В ответ запишите наибольший отрицательный корень.

Ответ

ОТВЕТ: -3.

Задача 6. Решите уравнение: \(\sin \dfrac{{\pi \left( {3 — x} \right)}}{2} = 1.\) В ответ запишите наименьший положительный корень.

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Задача 7. Решите уравнение: \({\text{tg}}\dfrac{{\pi \left( {2x — 1} \right)}}{2} = 1.\) В ответ запишите наибольший отрицательный корень.

Ответ

ОТВЕТ: -0,25.

Задача 8. Решите уравнение: \({\text{tg}}\dfrac{{\pi \left( {4x — 2} \right)}}{3} = — \sqrt 3 .\) В ответ запишите наименьший положительный корень.

Ответ

ОТВЕТ: 0,25.

Задача 9. Решите уравнение: \({\text{ctg}}\dfrac{{\pi \left( {2x — 1} \right)}}{3} = \sqrt 3 .\) В ответ запишите наибольший отрицательный корень.

Ответ

ОТВЕТ: -0,75.

Задача 10. Решите уравнение: \({\text{ctg}}\dfrac{{\pi \left( {2x + 3} \right)}}{2} = 1.\) В ответ запишите наименьший положительный корень.

Ответ

ОТВЕТ: 0,75.

Задача 11. Найдите количество корней уравнения \(\sin x = \dfrac{1}{2}\), принадлежащих промежутку \(\left[ {\,0;\,2\pi } \right].\)

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Задача 12. Найдите количество корней уравнения \(\cos x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\), принадлежащих промежутку \(\left[ {\, — \pi ;\,\pi } \right].\)

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Задача 13. Найдите количество корней уравнения \(\sin 2x = — \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\), принадлежащих промежутку \(\left[ {\,\dfrac{\pi }{2};\,2\pi } \right].\)

Ответ

ОТВЕТ: 4.

Задача 14. Найдите количество корней уравнения \(\cos 3x = 1\), принадлежащих промежутку \(\left[ {\, — \,2\pi ;\, — \dfrac{\pi }{2}} \right].\)

Ответ

ОТВЕТ: 3.

Задача 15. Найдите количество корней уравнения \({\text{tg}}\,x = \sqrt 3 \), принадлежащих промежутку \(\left[ {\,\dfrac{\pi }{6};\,3\pi } \right].\)

Ответ

ОТВЕТ: 3.

Задача 16. Найдите количество корней уравнения \({\text{ctg}}\,2x = 1\), принадлежащих промежутку \(\left[ {\,\pi ;\,4\pi } \right].\)

Ответ

ОТВЕТ: 6.

Задача 17. Найдите количество корней уравнения \(\sin x = — \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\), принадлежащих промежутку \(\left[ {\,3;\,12} \right].\)

Ответ

ОТВЕТ: 4.

Задача 18. Найдите количество корней уравнения \(\cos x = — \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\), принадлежащих промежутку \(\left[ {\, — 5;\,10} \right].\)

Ответ

ОТВЕТ: 6.

Задача 19. Найдите количество корней уравнения \({\text{tg}}\,x = — \sqrt 3 \), принадлежащих промежутку \(\left[ {\, — 12;\,0} \right].\)

Ответ

ОТВЕТ: 4.

Задача 20. Найдите количество корней уравнения \({\text{ctg}}\,x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\), принадлежащих промежутку \(\left[ {\,12;\,20} \right].\)

Ответ

ОТВЕТ: 3.

Задача 21. Найдите корни уравнения \(\sin \,x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\), принадлежащие промежутку \(\left[ {\,\pi ;\,\dfrac{{5\pi }}{2}} \right].\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{{7\pi }}{3}.\)

Задача 22. Найдите корни уравнения \(\cos \,x = \dfrac{1}{2}\), принадлежащие промежутку \(\left[ {\,2\pi ;\,3\pi } \right].\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{{7\pi }}{3}.\)

Задача 23. Найдите корни уравнения \(\sin \,x = — \dfrac{1}{2}\), принадлежащие промежутку \(\left[ {\,\dfrac{{3\pi }}{2};\,3\pi } \right].\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{{11\pi }}{6}.\)

Задача 24. Найдите корни уравнения \(\cos \,x = — \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\), принадлежащие промежутку \(\left[ {\, — 3\pi ;\,0} \right].\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \dfrac{{3\pi }}{4};\;\;\,\,\, — \dfrac{{5\pi }}{4};\,\,\,\,\, — \dfrac{{11\pi }}{4}\,.\)

Задача 25. Найдите корни уравнения \(\sin {\,^2}x = \dfrac{1}{2}\), принадлежащие промежутку \(\left[ {\, — \dfrac{\pi }{2};\,\pi } \right].\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \dfrac{\pi }{4};\;\;\,\,\,\dfrac{\pi }{4};\,\,\,\,\,\dfrac{{3\pi }}{4}\,.\)

Задача 26. Найдите корни уравнения \(\cos {\,^2}x = \dfrac{3}{4}\), принадлежащие промежутку \(\left[ {\, — \dfrac{\pi }{6};\,2\pi } \right].\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \dfrac{\pi }{6};\;\;\,\,\,\dfrac{\pi }{6};\,\,\,\,\,\dfrac{{5\pi }}{6};\,\,\,\,\,\dfrac{{7\pi }}{6};\,\,\,\,\,\dfrac{{11\pi }}{6}\,.\)

Задача 27. Найдите корни уравнения \(\sin {\,^2}x = \dfrac{3}{4}\), принадлежащие промежутку \(\left[ {\, — 5\pi ;\, — \dfrac{{7\pi }}{2}} \right].\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \dfrac{{14\pi }}{3};\;\;\,\,\, — \dfrac{{13\pi }}{3};\,\,\,\,\, — \dfrac{{11\pi }}{3}\,.\)

Задача 28. Найдите корни уравнения \(\cos {\,^2}x = \dfrac{1}{2}\), принадлежащие промежутку \(\left[ {\,4\pi ;\,5\pi } \right].\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{{17\pi }}{4};\;\;\,\,\,\dfrac{{19\pi }}{4}\,.\)

Задача 29. Найдите корни уравнения \({\text{tg}}{\,^2}x = 3\), принадлежащие промежутку \(\left[ {\, — \pi ;\,\dfrac{\pi }{2}} \right].\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \dfrac{{2\pi }}{3};\;\;\,\,\, — \dfrac{\pi }{3};\,\,\,\,\,\dfrac{\pi }{3}\,.\)

Задача 30. Найдите корни уравнения \({\text{ctg}}{\,^2}x = 3\), принадлежащие промежутку \(\left[ {\, — 3\pi ;\, — 2\pi } \right].\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \dfrac{{13\pi }}{6};\;\;\,\,\, — \dfrac{{17\pi }}{6}\,.\)

Задача 31. Найдите корни уравнения \(\sin \,\left( {x — \dfrac{\pi }{6}} \right) = — \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\), принадлежащие промежутку \(\left[ {\, — \dfrac{\pi }{{12}};\,6} \right].\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \dfrac{\pi }{{12}};\;\;\,\,\,\dfrac{{17\pi }}{{12}}\,.\)

Задача 32. Найдите корни уравнения \(\sin \,\left( {\dfrac{\pi }{3} — 2x} \right) = 1\), принадлежащие промежутку \(\left[ {\, — 4;\,\dfrac{{11\pi }}{{12}}} \right].\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \dfrac{{13\pi }}{{12}};\;\;\,\,\, — \dfrac{\pi }{{12}};\,\,\,\,\,\dfrac{{11\pi }}{{12}}\,.\)

Задача 33. Найдите корни уравнения \(\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \dfrac{1}{2}\), принадлежащие промежутку \(\left[ {\, — 6;\,2\pi } \right].\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \dfrac{{2\pi }}{3};\;\;\,\,\,0;\,\,\,\,\,\dfrac{{4\pi }}{3};\,\,\,\,\,2\pi \,.\)

Задача 34. Найдите корни уравнения \(\cos \left( {\dfrac{\pi }{4} — 3x} \right) = — \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\), принадлежащие промежутку \(\left[ {\, — \dfrac{1}{2};\,3} \right].\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{{13\pi }}{{36}};\;\;\,\,\,\dfrac{{17\pi }}{{36}}\,.\)

Задача 35. Найдите корни уравнения \({\text{tg}}\,\left( {x — \dfrac{\pi }{4}} \right) = — 1\), принадлежащие промежутку \(\left[ {\,0;\,6} \right].\)

Ответ

ОТВЕТ: \(0;\;\;\,\,\,\pi \,.\)

Задача 36. Найдите корни уравнения \({\text{ctg}}\,\left( {\dfrac{\pi }{5} — 2x} \right) = \sqrt 3 \), принадлежащие промежутку \(\left[ {\, — \dfrac{5}{2};\, — \dfrac{1}{2}} \right].\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \dfrac{{29\pi }}{{60}}\,.\)

Задача 37. Найдите корни уравнения \(\sin \,x = \dfrac{1}{3}\), принадлежащие промежутку \(\left[ {\, — \pi ;\,\pi } \right].\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\arcsin \dfrac{1}{3};\,\,\,\,\pi — \arcsin \dfrac{1}{3}.\)

Задача 38. Найдите корни уравнения \(\cos x = \dfrac{1}{5}\), принадлежащие промежутку \(\left[ {\, — 2\pi ;\,0} \right].\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \arccos \dfrac{1}{5};\,\,\,\,\arccos \dfrac{1}{5} — 2\pi .\)

Задача 39. Найдите корни уравнения \({\text{tg}}\,x = \dfrac{1}{2}\), принадлежащие промежутку \(\left[ {\, — 4\pi ;\, — \pi } \right].\)

Ответ

ОТВЕТ: \({\text{arctg}}\dfrac{1}{2} — 4\pi ;\,\,\,\,\,{\text{arctg}}\dfrac{1}{2} — 3\pi ;\,\,\,\,\,\,{\text{arctg}}\dfrac{1}{2} — 2\pi \,.\)

Задача 40. Найдите корни уравнения \({\text{ctg}}\,x = \dfrac{1}{4}\), принадлежащие промежутку \(\left[ {\,2\pi ;\,4\pi } \right].\)

Ответ

ОТВЕТ: \({\text{arcctg}}\dfrac{1}{4} + 2\pi ;\,\,\,\,\,{\text{arcctg}}\dfrac{1}{4} + 3\pi \,.\)

Задача 41. Найдите корни уравнения \(\sin \,x = — \dfrac{{\sqrt 2 }}{5}\), принадлежащие промежутку \(\left[ {\,\dfrac{{3\pi }}{2};\,4\pi } \right].\)

Ответ

ОТВЕТ: \({\text{4}}\pi — {\text{arcsin}}\dfrac{{\sqrt 2 }}{5};\,\,\,\,\,3\pi + {\text{arcsin}}\dfrac{{\sqrt 2 }}{5};\,\,\,\,\,\,2\pi — {\text{arcsin}}\dfrac{{\sqrt 2 }}{5}\,.\)

Задача 42. Найдите корни уравнения \(\cos x = — \dfrac{1}{3}\), принадлежащие промежутку \(\left[ {\, — \dfrac{\pi }{2};\,2\pi } \right].\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\pi — \arccos \dfrac{1}{3};\,\,\,\,\pi + \arccos \dfrac{1}{3}.\)

Задача 43. Найдите корни уравнения \({\text{tg}}\,x = — 2\), принадлежащие промежутку \(\left[ {\,\pi ;\,\dfrac{{7\pi }}{2}} \right].\)

Ответ

ОТВЕТ: \(2\pi — \,{\text{arctg}}\,{\text{2}};\,\,\,\,\,3\pi — \,{\text{arctg}}\,{\text{2}}\,.\)

Задача 44. Найдите корни уравнения \({\text{ctg}}\,x = — \dfrac{1}{4}\), принадлежащие промежутку \(\left[ {\,\dfrac{\pi }{2};\,2\pi } \right].\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\pi — \,{\text{arcctg}}\,\dfrac{1}{4};\,\,\,\,\,2\pi — \,{\text{arcctg}}\,\frac{1}{4}\,.\)

Задача 45. Найдите корни уравнения \(\cos 2x = \dfrac{2}{3}\), принадлежащие промежутку \(\left[ {\,0;\,\pi } \right].\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{1}{2}\arccos \dfrac{2}{3};\,\,\,\,\,\pi — \,\dfrac{1}{2}\arccos \dfrac{2}{3}\,.\)

Задача 46. Найдите корни уравнения \(\sin \,4x = \dfrac{1}{3}\), принадлежащие промежутку \(\left[ {\, — \pi ;\, — \dfrac{\pi }{2}} \right].\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{1}{4}\arcsin \dfrac{1}{3} — \pi ;\,\,\,\, — \dfrac{1}{4}\arcsin \dfrac{1}{3} — \dfrac{{3\pi }}{4}.\)

Задача 47. Найдите корни уравнения \(\cos 4x = — \dfrac{1}{5}\), принадлежащие промежутку \(\left[ {\,2\pi ;\,\dfrac{{5\pi }}{2}} \right].\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{{9\pi }}{4} — \dfrac{1}{4}\arccos \dfrac{1}{5};\,\,\,\,\dfrac{{9\pi }}{4} + \dfrac{1}{4}\arccos \dfrac{1}{5}.\)

Задача 48. Найдите корни уравнения \(\cos \dfrac{x}{2} = — \dfrac{{\sqrt 7 }}{3}\), принадлежащие промежутку \(\left[ {\,0;\,4\pi } \right].\)

Ответ

ОТВЕТ: \(2\pi — 2\arccos \dfrac{{\sqrt 7 }}{3};\,\,\,\,2\pi + 2\arccos \dfrac{{\sqrt 7 }}{3}.\)

Задача 49. Найдите корни уравнения \({\text{tg}}\,2x = — \sqrt 5 \), принадлежащие промежутку \(\left[ {\,\dfrac{{5\pi }}{2};\,\dfrac{{7\pi }}{2}} \right].\)

Ответ

ОТВЕТ: \(3\pi — \dfrac{1}{2}\,{\text{arctg}}\,\sqrt 5 ;\,\,\,\,\,\dfrac{{7\pi }}{2} — \dfrac{1}{2}\,{\text{arctg}}\,\sqrt 5 \,.\)

Задача 50. Найдите корни уравнения \(2\,{\text{ctg}}\dfrac{x}{2} = — \,4\), принадлежащие промежутку \(\left[ {\,\dfrac{{7\pi }}{2};\,\dfrac{{11\pi }}{2}} \right].\)

Ответ

ОТВЕТ: \(4\pi — \,2\,{\text{arcctg}}\,{\text{2}}\,.\)