\(\sin x = -\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -\dfrac{\pi }{4} + 2\pi k,\,\,\,}\\{x = -\dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,k \in Z.\)
Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {3;12} \right].\)
Рассмотрим решения \(x = -\dfrac{\pi }{4} + 2\pi k,\,\,\,\,k \in Z.\)
Если \(k \le 0,\) то \(x \le -\dfrac{\pi }{4} < 3,\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {3;12} \right]\) нет.
Если \(k = 1,\) то \(x = \dfrac{{7\pi }}{4} \in \left[ {3;12} \right].\)
Если \(k = 2,\) то \(x = \dfrac{{15\pi }}{4} \in \left[ {3;12} \right].\)
Если \(k \ge 3,\) то \(x \ge \dfrac{{23\pi }}{4} > 12,\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {3;12} \right]\) нет.
Рассмотрим решения \(x = -\dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,\,\,\,\,k \in Z.\)
Если \(k \le 0,\) то \(x \le -\dfrac{{3\pi }}{4} < 3,\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {3;12} \right]\) нет.
Если \(k = 1,\) то \(x = \dfrac{{5\pi }}{4} \in \left[ {3;12} \right].\)
Если \(k = 2,\) то \(x = \dfrac{{13\pi }}{4} \in \left[ {3;12} \right].\)
Если \(k \ge 3,\) то \(x \ge \dfrac{{21\pi }}{4} > 12,\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {3;12} \right]\) нет.
Таким образом, исходное уравнение на заданном промежутке имеет 4 корня.
Ответ: 4.