Задача 17. Найдите количество корней уравнения \(\sin x = -\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\),  принадлежащих промежутку  \(\left[ {\,3;\,12} \right].\)

Ответ

ОТВЕТ: 4.

Решение

\(\sin x = -\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -\dfrac{\pi }{4} + 2\pi k,\,\,\,}\\{x = -\dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,k \in Z.\)

Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {3;12} \right].\) 

Рассмотрим решения  \(x = -\dfrac{\pi }{4} + 2\pi k,\,\,\,\,k \in Z.\)

Если \(k \le 0,\) то \(x \le -\dfrac{\pi }{4} < 3,\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {3;12} \right]\) нет.

Если \(k = 1,\) то \(x = \dfrac{{7\pi }}{4} \in \left[ {3;12} \right].\)

Если \(k = 2,\) то \(x = \dfrac{{15\pi }}{4} \in \left[ {3;12} \right].\)

Если \(k \ge 3,\) то \(x \ge \dfrac{{23\pi }}{4} > 12,\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {3;12} \right]\) нет.

Рассмотрим решения  \(x = -\dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,\,\,\,\,k \in Z.\)

Если \(k \le 0,\) то \(x \le -\dfrac{{3\pi }}{4} < 3,\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {3;12} \right]\) нет.

Если \(k = 1,\) то \(x = \dfrac{{5\pi }}{4} \in \left[ {3;12} \right].\)

Если \(k = 2,\) то \(x = \dfrac{{13\pi }}{4} \in \left[ {3;12} \right].\)

Если \(k \ge 3,\) то \(x \ge \dfrac{{21\pi }}{4} > 12,\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {3;12} \right]\) нет.

Таким образом, исходное уравнение на заданном промежутке имеет 4 корня.

Ответ:  4.