\(\cos 2\pi x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,2\pi x = \pm \dfrac{\pi }{4} + 2\pi k\left| {:2\pi } \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{1}{8} + k,\,\,\,\,}\\{x = -\dfrac{1}{8} + k,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,k \in Z.\)
Рассмотрим \(x = \dfrac{1}{8} + k,\,\,\,k\, \in \,Z\). Если \(k = 0\), то \(x = 0,125\); если \(k = -1\), то \(x = -0,875.\)
Рассмотрим \(x = -\dfrac{1}{8} + k,\,\,\,k\, \in \,Z\). Если \(k = 1\), то \(x = 0,875\); если \(k = 0\), то \(x = -0,125.\)
Следовательно, наибольший отрицательный корень \(x = -0,125.\)
Ответ: \(-0,125.\)