Задача 25. Найдите корни уравнения \(\sin {\,^2}x = \dfrac{1}{2}\), принадлежащие промежутку \(\left[ {\,-\dfrac{\pi }{2};\,\pi } \right].\)
Ответ
ОТВЕТ: \(-\dfrac{\pi }{4};\;\;\,\,\,\dfrac{\pi }{4};\,\,\,\,\,\dfrac{{3\pi }}{4}\,.\)
Решение
\({\sin ^2}x = \dfrac{1}{2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{1-\cos 2x}}{2} = \dfrac{1}{2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\cos 2x = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,2x = \dfrac{\pi }{2} + \pi k\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{\pi k}}{2},\,\,\,\,k \in Z.\)
Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-\dfrac{\pi }{2};\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения \(x = \dfrac{\pi }{4}-\dfrac{\pi }{2} = -\dfrac{\pi }{4},\,\,\,\,x = \dfrac{\pi }{4}\) и \(x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{\pi }{2} = \dfrac{{3\pi }}{4}.\)
Ответ: \(-\dfrac{\pi }{4},\,\,\,\,\dfrac{\pi }{4},\,\,\,\,\dfrac{{3\pi }}{4}.\)