Задача 23. Решите неравенство: \(\cos x > -\dfrac{1}{4}.\)
ОТВЕТ: \(\left( {-\pi + \arccos \dfrac{1}{4} + 2\pi k;\,\,\pi -\arccos \dfrac{1}{4} + 2\pi k} \right),\,\,\,\,k \in Z.\)
Ответ: \(\left( {-\pi + \arccos \dfrac{1}{4} + 2\pi k;\,\,\pi -\arccos \dfrac{1}{4} + 2\pi k} \right),\,\,\,\,k \in Z.\) 
Построим единичную окружность и на линии косинусов (оси абсцисс) отметим точку с абсциссой \(-\dfrac{1}{4}\) (см. рис.). Через эту точку проведём прямую параллельную оси ординат, которая пересекает окружность в точках, абсциссы которых равны \(-\dfrac{1}{4}.\) Выделим дугу (красным цветом), на которой лежат все точки, абсциссы которых больше \(-\dfrac{1}{4}\), причём концы дуги не войдут в указанное множество точек, так как неравенство строгое (на рисунке эти точки не закрашены). Точка нижней полуокружности с абсциссой \(-\dfrac{1}{4}\) соответствует числу \(-{\rm{\pi }} + \arccos \dfrac{1}{4}.\) Обойдём выделенную дугу от её нижнего конца — точки \(-{\rm{\pi }} + \arccos \dfrac{1}{4}\) — до верхнего. Обход осуществлен против часовой стрелки, поэтому верхний конец дуги — это точка, соответствующая числу \({\rm{\pi }}-\arccos \dfrac{1}{4}.\) Все точки выделенной дуги соответствуют числам x, которые удовлетворяют неравенству \(-{\rm{\pi }} + \arccos \dfrac{1}{4} < x < {\rm{\pi }}-\arccos \dfrac{1}{4}\), то есть эти значения x являются решениями неравенства \(\cos x > -\dfrac{1}{4}.\) Таким образом, на промежутке \(\left[ {-{\rm{\pi }};{\rm{\pi }}} \right]\) длиной \(2\pi ,\) что составляет период функции косинус, все решения данного неравенства составляют интервал \(\left( {-{\rm{\pi }} + \arccos \dfrac{1}{4};{\rm{\pi }}-\arccos \dfrac{1}{4}} \right)\). С учетом периодичности функции косинус множество решений данного неравенства составит объединение промежутков вида \(\left( {-\pi + \arccos \dfrac{1}{4} + 2\pi k;\,\,\pi -\arccos \dfrac{1}{4} + 2\pi k} \right),\,\,\,\,k \in Z.\)