Задача 32. Решите неравенство: \({\text{ctg}}\,x \leqslant -5.\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\left[ {\pi -{\text{arcctg}}\,5 + \pi k;\,\,\pi + \pi k} \right),\,\,\,k \in Z.\)
Решение
Построим единичную окружность и на оси котангенсов (прямая \(y = 1\)) отметим точку, значение которой равно \(-5\) (см. рис.). Через начало координат и эту точку проведём прямую, которая пересекает окружность в двух точках. Точка во второй четверти соответствует числу \({\rm{\pi }}-{\rm{arcctg}}\,\,5,\) а в четвёртой четверти \({\rm{2\pi }}-{\rm{arcctg}}\,5.\) Выделим дуги (красным цветом), на которых лежат все точки, в которых значение котангенса меньше \(-5,\) причём точки \({\rm{\pi }}-{\rm{arcctg}}\,\,5\) и \({\rm{2\pi }}-{\rm{arcctg}}\,5\) войдут в указанное множество точек, так как неравенство нестрогое (на рисунке эти точки закрашены). При обходе против часовой стрелки получим, что выделенные дуги соответствуют числам x, которые удовлетворяют совокупности неравенств \(\left[ \begin{array}{l}{\rm{\pi }}-{\rm{arcctg}}\,\,5 \le x < {\rm{\pi }},\\{\rm{2\pi }}-{\rm{arcctg}}\,\,5 \le x < 2{\rm{\pi }},\end{array} \right.\) то есть эти значения x являются решениями неравенства \({\rm{ctg}}\,x \le -5\) на промежутке \(\left[ {0;2{\rm{\pi }}} \right]\) длиной \(2\pi .\) С учетом периодичности функции котангенс множество решений данного неравенства составит объединение промежутков вида \(\left[ {\pi -{\rm{arcctg}}\,5 + \pi k;\,\,\pi + \pi k} \right),\,\,\,k \in Z.\)
Ответ: \(\left[ {\pi -{\rm{arcctg}}\,5 + \pi k;\,\,\pi + \pi k} \right),\,\,\,k \in Z.\)