Задача 9. Решите неравенство: \({\text{tg}}\,x > \sqrt 3 .\)
Ответ: \(\left( {\dfrac{\pi }{3} + \pi k;\,\,\dfrac{\pi }{2} + \pi k} \right),\,\,\,k \in Z.\)
Построим единичную окружность и на оси тангенсов (прямая \(x = 1\)) отметим точку, значение которой равно \(\sqrt 3 \) (см. рис.). Через начало координат и эту точку проведём прямую, которая пересекает окружность в двух точках. Точка в первой четверти соответствует числу \(\dfrac{{\rm{\pi }}}{3},\) а в третьей четверти \(\dfrac{{4{\rm{\pi }}}}{3}.\) Выделим дуги (красным цветом), на которых лежат все точки, в которых значение тангенса больше \(\sqrt 3 ,\) причём концы дуг не войдут в указанное множество точек, так как неравенство строгое (на рисунке эти точки не закрашены). При обходе против часовой стрелки получим, что выделенные дуги соответствуют числам x, которые удовлетворяют совокупности неравенств \(\left[ \begin{array}{l}\dfrac{\pi }{3} < x < \dfrac{\pi }{2},\\\dfrac{{4\pi }}{3} < x < \dfrac{{3\pi }}{2},\end{array} \right.\) то есть эти значения x являются решениями неравенства \({\rm{tg}}\,x > \sqrt 3 \) на промежутке \(\left[ {0;2{\rm{\pi }}} \right]\) длиной \(2\pi .\) С учетом периодичности функции тангенс множество решений данного неравенства составит объединение промежутков вида \(\left( {\dfrac{\pi }{3} + \pi k;\,\,\dfrac{\pi }{2} + \pi k} \right),\,\,\,k \in Z.\)