Преобразование выражений, содержащих радикалы. Задача 20

Задача 20. Расположите числа в порядке возрастания: \(\sqrt[6]{{17}},\,\,\,\,\sqrt[3]{4},\,\,\,\,\sqrt[4]{6}\)

1) \(\sqrt[6]{{17}},\,\,\,\,\sqrt[3]{4},\,\,\,\,\sqrt[4]{6}\)	2) \(\sqrt[6]{{17}},\,\,\,\,\sqrt[4]{6},\,\,\,\,\sqrt[3]{4}\)	3) \(\sqrt[3]{4},\,\,\,\,\sqrt[6]{{17}},\,\,\,\,\sqrt[4]{6}\)
4) \(\sqrt[3]{4},\,\,\,\,\sqrt[4]{6},\,\,\,\,\sqrt[6]{{17}}\)	5) \(\sqrt[4]{6},\,\,\,\,\sqrt[6]{{17}},\,\,\,\,\sqrt[3]{4}\)	6) \(\sqrt[4]{6},\,\,\,\,\sqrt[3]{4},\,\,\,\,\sqrt[6]{{17}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 6.

Решение

Воспользуемся свойством: \(\sqrt[{nk}]{{{a^{mk}}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}.\)

Тогда:

\(\sqrt[6]{{17}} = \sqrt[{6 \cdot 2}]{{{{17}^2}}} = \sqrt[{12}]{{289}};\) \(\sqrt[3]{4} = \sqrt[{3 \cdot 4}]{{{4^4}}} = \sqrt[{12}]{{256}};\) \(\sqrt[4]{6} = \sqrt[{4 \cdot 3}]{{{6^3}}} = \sqrt[{12}]{{216}}.\)

Значит:

\(\sqrt[4]{6} = \sqrt[{12}]{{216}} < \sqrt[3]{4} = \sqrt[{12}]{{256}} < \sqrt[6]{{17}} = \sqrt[{12}]{{289}}.\)

Ответ: 6.