Задача 18. Упростите выражение    \(\left( {\dfrac{b}{{{a^2} + ab}}-\dfrac{{b-{a^{}}}}{{{b^2} + ab}}} \right)\,{\left( {\dfrac{{{a^2}}}{{{b^3}-b{a^2}}} + \dfrac{1}{{a + b}}} \right)^{-1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{{b-a}}{a}\).

Решение

\(\left( {\dfrac{b}{{{a^2} + ab}}-\dfrac{{b-{a^{}}}}{{{b^2} + ab}}} \right)\,{\left( {\dfrac{{{a^2}}}{{{b^3}-b{a^2}}} + \dfrac{1}{{a + b}}} \right)^{-1}} = \)

\( = \left( {\dfrac{b}{{a\left( {a + b} \right)}}-\dfrac{{b-a}}{{b\left( {a + b} \right)}}} \right) \cdot {\left( {\dfrac{{{a^2}}}{{b\left( {b-a} \right)\left( {b + a} \right)}} + \dfrac{1}{{a + b}}} \right)^{-1}} = \)

\( = \dfrac{{{b^2}-ab + {a^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}} \cdot {\left( {\dfrac{{{a^2} + {b^2}-ab}}{{b\left( {b-a} \right)\left( {b + a} \right)}}} \right)^{-1}} = \dfrac{{{b^2}-ab + {a^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}} \cdot \dfrac{{b\left( {b-a} \right)\left( {b + a} \right)}}{{{a^2} + {b^2}-ab}} = \dfrac{{b-a}}{a}.\)

Ответ:  \(\dfrac{{b-a}}{a}.\)