Скачать файл в формате pdf.


Алгебра 10-11 класс. Рациональные уравнения

Задача 1. Решите уравнение    \(\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{2}{x} — 3 = 0\) 

Ответ

ОТВЕТ: -1/3;   1.
Задача 2. Решите уравнение    \(\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{3}{x} = 10\)

Ответ

ОТВЕТ: -0,2;   0,5.
Задача 3. Решите уравнение    \(\frac{1}{{{{\left( {x — 2} \right)}^2}}} — \frac{1}{{x — 2}} — 6 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: 3/2;   7/3.
Задача 4. Решите уравнение    \(\frac{1}{{{{\left( {x — 3} \right)}^2}}} = \frac{3}{{x — 3}} + 4\)

Ответ

ОТВЕТ: 2;   13/4.
Задача 5. Решите уравнение    \(\left( {x — 2} \right)\left( {x — 3} \right)\left( {x — 4} \right) = \left( {x — 2} \right)\left( {x — 3} \right)\left( {x — 5} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: 2;   3.
Задача 6. Решите уравнение    \(\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x — 7} \right) = \left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x — 8} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: -3;  -1.
Задача 7. Решите уравнение    \({\left( {x + 5} \right)^3} = 25\left( {x + 5} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: -10;   -5;   0.
Задача 8. Решите уравнение    \({\left( {x + 7} \right)^3} = 49\left( {x + 7} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: -14;  -7;  0.
Задача 9. Решите уравнение    \({\left( {x — 2} \right)^2}\left( {x — 3} \right) = 12\left( {x — 2} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: -1;  2;  6.
Задача 10. Решите уравнение    \({\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x — 4} \right) =  — 6\left( {x + 1} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: -1;  1;  2.
Задача 11. Решите уравнение    \(\left( {x — 1} \right)\left( {{x^2} + 4x + 4} \right) = 4\left( {x + 2} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: -3;  -2;  2.
Задача 12. Решите уравнение    \(x\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) = 2\left( {x + 1} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: -2;  -1;  1.
Задача 13. Решите уравнение    \({\left( {2x — 3} \right)^2}\left( {x — 3} \right) = \left( {2x — 3} \right){\left( {x — 3} \right)^2}\)

Ответ

ОТВЕТ: 0;  3/2;  3.
Задача 14. Решите уравнение    \({\left( {2x — 9} \right)^2}\left( {x — 9} \right) = \left( {2x — 9} \right){\left( {x — 9} \right)^2}\)

Ответ

ОТВЕТ: 0;  9/2;  9.
Задача 15. Решите уравнение    \({x^3} = 4{x^2} + 5x\)

Ответ

ОТВЕТ: -1;  0;  5.
Задача 16. Решите уравнение    \({x^3} — 3{x^2} = 4x\)

Ответ

ОТВЕТ: -1;  0;  4.
Задача 17. Решите уравнение    \({x^3} + 3x{}^2 — 2x — 6 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — 3;\;\; \pm \sqrt 2 .\)
Задача 18. Решите уравнение    \({x^3} — 3{x^2} — 3x + 9 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \( \pm \sqrt 3 ;\;\;3.\)
Задача 19. Решите уравнение    \(2{x^3} — 5{x^2} — 2x + 5 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: -1;  1;  2,5.
Задача 20. Решите уравнение    \(2{x^3} — {x^2} — 8x + 4 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: -2;  0,5;  2,
Задача 21. Решите уравнение    \({x^4} + 2{x^2} — 8 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \( \pm \sqrt 2 .\)
Задача 22. Решите уравнение    \({x^4} — 7{x^2} + 12 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \( \pm \sqrt 3 ;\;\; \pm 2.\)
Задача 23. Решите уравнение    \(2{x^4} — 19{x^2} + 9 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \( \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2};\;\; \pm 3.\)
Задача 24. Решите уравнение    \(3{x^4} — 13{x^2} + 4 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \( \pm \frac{{\sqrt 3 }}{3};\;\; \pm 2.\)
Задача 25. Решите уравнение    \({\left( {x — 5} \right)^4} — 3{\left( {x — 5} \right)^2} — 4 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: 3;  7.
Задача 26. Решите уравнение    \({\left( {x + 2} \right)^4} + 5{\left( {x + 2} \right)^2} — 36 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: -4;  0.
Задача 27. Решите уравнение    \({x^7} + 7{x^4} — 8x = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: -2;  0;  1.
Задача 28. Решите уравнение    \({x^5} + 6{x^3} — 7x = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: -1;  0;  1.
Задача 29. Решите уравнение    \({\left( {x — 3} \right)^3} — {x^2} + 9 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: 1;  3;  6.
Задача 30. Решите уравнение    \(\left( {x + 0,5} \right)\,\left( {{x^2} — 9} \right) = \left( {2x + 1} \right)\,{\left( {x + 3} \right)^2}\)

Ответ

ОТВЕТ: -9;  -3;  -0,5.
Задача 31. Решите уравнение    \(\left( {x — 3} \right)\,{\left( {x — 1} \right)^3} + \left( {3 — x} \right)\,{\left( {x — 2} \right)^3} = 7\,\left( {x — 3} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: 0;  3.
Задача 32. Решите уравнение    \(\left( {x — 1} \right)\,{\left( {x — 2} \right)^3} + \left( {1 — x} \right)\,{\left( {x — 3} \right)^3} = 19\,\left( {x — 1} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: 0;  1;  5.
Задача 33. Решите уравнение    \({\left( {x — \sqrt 3 } \right)^4} — 5{\left( {x — \sqrt 3 } \right)^2} + 4 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\sqrt 3  \pm 2;\;\;\sqrt 3  \pm 1.\)
Задача 34. Решите уравнение    \({\left( {{x^2} — x} \right)^2} — 3\left( {{x^2} — x} \right) + 2 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — 1;\;\;2;\;\;\frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}.\)
Задача 35. Решите уравнение    \(\left( {x\,\left( {x + 1} \right) — 7} \right) \cdot \left( {{x^2} + x — 4} \right) + 2 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — 3;\;\;2;\;\;\frac{{ — 1 \pm \sqrt {21} }}{2}.\)
Задача 36. Решите уравнение    \({\left( {{x^2} — 6x} \right)^2} — 2{\left( {x — 3} \right)^2} = 81\)

Ответ

ОТВЕТ: \(3;\;\;3 \pm 2\sqrt 5 .\)
Задача 37. Решите уравнение    \({\left( {\frac{{3x — 1}}{{x + 1}}} \right)^2} — \frac{{27x — 9}}{{x + 1}} + 14 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: -2;  3.
Задача 38. Решите уравнение    \(3 \cdot {\left( {\frac{{2x — 3}}{{x + 1}}} \right)^2} — \frac{{44x — 66}}{{x + 1}} + 7 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: -2;  2.
Задача 39. Решите уравнение    \(\frac{{{x^2} — x}}{{{x^2} — x + 1}} — \frac{{{x^2} — x + 2}}{{{x^2} — x — 2}} = 1\)

Ответ

ОТВЕТ: 0;  1.
Задача 40. Решите уравнение    \(\frac{{{x^2} + 1}}{x} + \frac{x}{{{x^2} + 1}} =  — \frac{5}{2}\)

Ответ

ОТВЕТ: -1.
Задача 41. Решите уравнение    \(\frac{{x + 1}}{{x — 1}} + \frac{{6x — 6}}{{x + 1}} — 5 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: 2;  3.
Задача 42. Решите уравнение    \({\left( {{x^2} — 4x + 5} \right)^2} = {\left( {{x^2} — 2x — 1} \right)^2}\)

Ответ

ОТВЕТ: 1;  2;  3.
Задача 43. Решите уравнение    \({\left( {{x^3} + x + 1} \right)^2} = {\left( {{x^2} + 3x — 1} \right)^2}\)

Ответ

ОТВЕТ: \( \pm \sqrt 2 ;\;\;0;\;\;1.\)
Задача 44. Решите уравнение    \(\left( {x — 1} \right)\,\left( {x — 2} \right)\,\left( {x — 3} \right)\,\left( {x — 4} \right) = 15\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{5 \pm \sqrt {21} }}{2}.\)
Задача 45. Решите уравнение    \(x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 48\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{ — 3 \pm \sqrt {33} }}{2}.\)
Задача 46. Решите уравнение    \(\frac{{4x}}{{4{x^2} — 8x + 7}} + \frac{{3x}}{{4{x^2} — 10x + 7}} = 1\)

Ответ

ОТВЕТ: 0,5;  3,5.
Задача 47. Решите уравнение    \(\frac{{4x}}{{{x^2} + x + 3}} + \frac{{5x}}{{{x^2} — 5x + 3}} =  — \frac{3}{2}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{ — 5 \pm \sqrt {13} }}{2}.\)
Задача 48. Решите уравнение    \({x^4} — 4{x^3} + 5{x^2} — 4x + 1 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}.\)
Задача 49. Решите уравнение    \({x^4} — 2{x^3} — {x^2} — 2x + 1 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}.\)
Задача 50. Решите уравнение    \({x^2} + x + \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} = 4\)

Ответ

ОТВЕТ: \(1;\;\;\frac{{ — 3 \pm \sqrt 5 }}{2}.\)
Задача 51. Решите уравнение    \({x^2} + \frac{4}{{x{}^2}} = x — \frac{2}{x} + 4\)

Ответ

ОТВЕТ: \( \pm \sqrt 2 ;\;\; — 1;\;\;2.\)
Задача 52. Решите уравнение    \(4{x^2} + 12x + \frac{{12}}{x} + \frac{4}{{{x^2}}} = 47\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{1}{2};\;\;2;\;\;\frac{{ — 11 \pm \sqrt {105} }}{4}.\)
Задача 53. Решите уравнение    \(\frac{{{x^2}}}{3} + \frac{{48}}{{{x^2}}} = 10\,\left( {\frac{x}{3} — \frac{4}{x}} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — 2;\;\;6;\;\;3 \pm \sqrt {21} .\)
Задача 54. Решите уравнение    \({x^3} — 4{x^2} + 3x + 2 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(2;\;\;1 \pm \sqrt 2 .\)
Задача 55. Решите уравнение    \({x^3} — {x^2} — 9x — 6 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — 2;\;\;\frac{{3 \pm \sqrt {21} }}{2}.\)
Задача 56. Решите уравнение    \({x^4} + {x^3} + {x^2} + 3x + 2 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: -1.
Задача 57. Решите уравнение    \({x^4} — 2{x^3} — {x^2} + 2x = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: -1;  0;  1;  2.
Задача 58. Решите уравнение    \({x^3} — {x^2} — \frac{8}{{{x^3} — {x^2}}} = 2\)

Ответ

ОТВЕТ: -1;  2.
Задача 59. Решите уравнение    \({x^4} — 4{x^3} + 12x — 9 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \( \pm \sqrt 3 ;\;\;1;\;\;3.\)
Задача 60. Решите уравнение    \({x^4} — 3{x^3} + 6x — 4 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \( \pm \sqrt 2 ;\;\;1;\;\;2.\)
Задача 61. Решите уравнение    \(\frac{{{x^3} — 6{x^2} + 11x — 6}}{{x — 2}} = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: 1;  3.
Задача 62. Решите уравнение    \(\frac{{2{x^3} — 3{x^2} — 11x + 6}}{{2{x^3} — {x^2} + 2x — 1}} = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: -2;  3.
Задача 63. Решите уравнение    \({\left( {\frac{{{x^2} — 2x + 3}}{x}} \right)^2} — 5x = \frac{{15}}{x} — 16\)

Ответ

ОТВЕТ: \(1;\;\;3;\;\;\frac{{5 \pm \sqrt {13} }}{2}.\)
Задача 64. Решите уравнение    \(\frac{{{{\left( {x — 2} \right)}^2}}}{2} + \frac{{18}}{{{{\left( {x — 2} \right)}^2}}} = 7\left( {\frac{{x — 2}}{2} — \frac{3}{{x — 2}}} \right) + 10\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — 1;\;\;4;\;\;6 \pm \sqrt {22} .\)
Задача 65. Решите уравнение    \(\frac{{{{\left( {x — 1} \right)}^2}}}{8} + \frac{8}{{{{\left( {x — 1} \right)}^2}}} = 7\left( {\frac{{x — 1}}{4} — \frac{2}{{x — 1}}} \right) — 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — 1;\;\;5;\;\;7 \pm 2\sqrt {11} .\)
Задача 66. Решите уравнение    \({\left( {x — 2} \right)^4} + 3{\left( {x — 2} \right)^2}{\left( {x — 3} \right)^2} — 4{\left( {x — 3} \right)^4} = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: 2,5.
Задача 67. Решите уравнение    \(2\left( {{x^3} + 1} \right) + {\left( {{x^2} — x + 1} \right)^2} = 3{\left( {x + 1} \right)^2}\)

Ответ

ОТВЕТ: 0;  2.
Задача 68. Решите уравнение    \(2\,{\left( {{x^2} + x + 1} \right)^2} — 7\,{\left( {x — 1} \right)^2} = 13\,\left( {{x^3} — 1} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: -1;  -0,5;  2;  4.
Задача 69. Решите уравнение    \(20\,{\left( {\frac{{x — 2}}{{x + 1}}} \right)^2} — 5\,{\left( {\frac{{x + 2}}{{x — 1}}} \right)^2} + 48\,\frac{{{x^2} — 4}}{{{x^2} — 1}} = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: 2/3;  3.
Задача 70. Решите уравнение    \(5\,{\left( {\frac{{x — 2}}{{x + 1}}} \right)^2} — 44\,{\left( {\frac{{x + 2}}{{x — 1}}} \right)^2} + 12\,\frac{{{x^2} — 4}}{{{x^2} — 1}} = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{ — 9 \pm \sqrt {73} }}{2}.\)
Задача 71. Решите уравнение    \({\left( {2x — 2} \right)^2}{\left( {x + 1} \right)^2} — \sqrt 2 \left( {{x^2} — 1} \right) — 6 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \( \pm \sqrt {1 + \sqrt 2 } .\)
Задача 72. Решите уравнение    \(3\,\left( {x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) — 7\,\left( {1 + \frac{1}{x}} \right) = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: -1;  1/3;  3.
Задача 73. Решите уравнение    \({x^3} + \frac{1}{{{x^3}}} + {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + x + \frac{1}{x} = 6\)

Ответ

ОТВЕТ: 1.
Задача 74. Решите уравнение    \({\left( {x + 3} \right)^4} + {\left( {x + 5} \right)^4} = 16\)

Ответ

ОТВЕТ: -5;  -3.
Задача 75. Решите уравнение    \({\left( {x — 2} \right)^4} + {\left( {x — 3} \right)^4} = 1\)

Ответ

ОТВЕТ: 2;  3.
Задача 76. Решите уравнение    \(10{x^3} — 3{x^2} — 2x + 1 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: -0,5.
Задача 77. Решите уравнение    \(4{x^4} — 16{x^3} + 3{x^2} + 4x — 1 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \( \pm \frac{1}{2};\;\;\frac{1}{{2 \pm \sqrt 3 }}.\;\)
Задача 78. Решите уравнение    \({\left( {x — 1} \right)^5} + {\left( {x + 3} \right)^5} = 242\left( {x + 1} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: -2;  -1;  0.
Задача 79. Решите уравнение    \({\left( {x — 2} \right)^6} + {\left( {x — 4} \right)^6} = 64\)

Ответ

ОТВЕТ: 2;  4.
Задача 80. Решите уравнение    \({x^4} + x\left( {x + 2} \right) + 1 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: нет решений.
Задача 81. Решите уравнение    \({x^2} + \frac{{25{x^2}}}{{{{\left( {x + 5} \right)}^2}}} = 11\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{1 \pm \sqrt {21} }}{2}.\)
Задача 82. Составить уравнение с целыми коэффициентами возможно более низкой степени, одним из корней которого было бы число \(\sqrt 2  + \sqrt 3 \).

Ответ

ОТВЕТ: \({x^4} — 10{x^2} + 1 = 0.\)
Задача 83. Найти коэффициенты  a  и  b  уравнения  \({x^4} + {x^3} — 18{x^2} + ax + b = 0\),  если известно, что среди его корней имеются три равных целых числа.

Ответ

ОТВЕТ: \(a =  — 52;\;\;b =  — 40.\)
Задача 84. Решить уравнение  \({x^4} — 4{x^3} + 3{x^2} + 8x — 10 = 0\),  если известно, что два его корня отличаются друг от друга только знаками.

Ответ

ОТВЕТ: \( \pm \sqrt 2 .\)