Рациональные уравнения. Задача 31math100admin44242024-05-27T22:01:47+03:00
Задача 31. Решите уравнение \(\left( {x-3} \right)\,{\left( {x-1} \right)^3} + \left( {3-x} \right)\,{\left( {x-2} \right)^3} = 7\,\left( {x-3} \right)\)
Решение
\(\left( {x-3} \right)\,{\left( {x-1} \right)^3} + \left( {3-x} \right)\,{\left( {x-2} \right)^3} = 7\,\left( {x-3} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-3} \right){\left( {x-1} \right)^3}-\left( {x-3} \right){\left( {x-2} \right)^3}-7\left( {x-3} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-3} \right)\left( {{{\left( {x-1} \right)}^3}-{{\left( {x-2} \right)}^3}-7} \right) = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-3 = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{{\left( {x-1} \right)}^3}-{{\left( {x-2} \right)}^3}-7 = 0}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;}\\{{x^3}-3{x^2} + 3x-1-{x^3} + 6{x^2}-12x + 8-7 = 0}\end{array}\;\;\;\;} \right. \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;}\\{3{x^2}-9x = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,}\\{x\left( {3x-9} \right) = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3,}\\{x = 0.}\end{array}} \right.\)
Ответ: \(0;\;\;\;\;3.\)