Рациональные уравнения. Задача 54

ОТВЕТ: \(2;\;\;1 \pm \sqrt 2 .\)

\({x^3}-4{x^2} + 3x + 2 = 0.\)

Кандидатами в целые корни исходного кубического уравнения являются делители свободного члена, равного  \(2,\)  то есть: \( \pm 1;\,\,\,\, \pm 2.\)

Подходит  \(x = 2.\)  Разделим многочлен  \({x^3}-4{x^2} + 3x + 2\)  на многочлен  \(x-2:\)

Следовательно, многочлен  \({x^3}-4{x^2} + 3x + 2\)  раскладывается на множители  \(\left( {x-2} \right)\left( {{x^2}-2x-1} \right).\)  Тогда:

\(\left( {x-2} \right)\left( {{x^2}-2x-1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-2x-1 = 0,}\\{x-2 = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + \sqrt 2 ,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1-\sqrt 2 ,}\\{x = 2.\;\;\;\;\;\;\,\;}\end{array}}\end{array}} \right.\)

Ответ:  \(2;\;\;\;\;1 \pm \sqrt 2 .\)