\({\left( {x-2} \right)^6} + {\left( {x-4} \right)^6} = 64.\)
Пусть \(x-3 = t\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = t + 3\). Тогда уравнение примет вид:
\({\left( {t + 1} \right)^6} + {\left( {t-1} \right)^6} = 64\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{t^6} + 6{t^5} + 15{t^4} + 20{t^3} + 15{t^2} + 6t + 1 + {t^6}-6{t^5} + 15{t^4}-20{t^3} + 15{t^2}-6t + 1 = 64\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{t^6} + 15{t^4} + 15{t^2}-31 = 0.\)
Пусть \({t^2} = y\), где \(y \ge 0.\) Тогда:
\({y^3} + 15{y^2} + 15y-31 = 0.\)
Кандидатами в целые корни полученного кубического уравнения являются делители свободного члена, равного \(-31\), то есть: \( \pm 1;\,\, \pm 31.\)
Подходит \(y = 1\). Разделим многочлен \({y^3} + 15{y^2} + 15y-31\) на многочлен \(y-1\):
Следовательно, многочлен \({y^3} + 15{y^2} + 15y-31\) раскладывается на множители \({y^3} + 15{y^2} + 15y-31 = \left( {y-1} \right)\left( {{y^2} + 16y + 31} \right).\) Тогда:
\(\left( {y-1} \right)\left( {{y^2} + 16y + 31} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y-1 = 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{y^2} + 16y + 31 = 0}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{y = -8-\sqrt {33} < 0,}\\{y = -8 + \sqrt {33} < 0.}\end{array}} \right.\)
Вернёмся к переменной t:
\({t^2} = 1\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,t = \pm 1.\)
Вернёмся к переменной x:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-3 = 1,\,\,}\\{x-3 = -1}\end{array}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4,}\\{x = 2.}\end{array}} \right.} \right.\)
Ответ: 2; 4.