Задача 79. Решите неравенство \(x + \dfrac{{8x — 25}}{{x — 3}} + \dfrac{{{x^2} + 41x — 136}}{{{x^2} — 10x + 21}} \leqslant 1\)
ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\; — 3} \right] \cup \left[ {2;3} \right) \cup \left( {3;7} \right).\)
\(x + \dfrac{{8x — 25}}{{x — 3}} + \dfrac{{{x^2} + 41x — 136}}{{{x^2} — 10x + 21}} \le 1.\) \({x^2} — 10x + 21 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = 3,}\\{{x} = 7.}\end{array}} \right.\) Тогда: \({x^2} — 10x + 21 = \left( {x — 3} \right)\left( {x — 7} \right).\) \(x + \dfrac{{8x — 25}}{{x — 3}} + \dfrac{{{x^2} + 41x — 136}}{{{x^2} — 10x + 21}} \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{x}{1} + \dfrac{{8x — 25}}{{x — 3}} + \dfrac{{{x^2} + 41x — 136}}{{\left( {x — 3} \right)\left( {x — 7} \right)}} — 1 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{x\left( {{x^2} — 10x + 21} \right) + \left( {8x — 25} \right)\left( {x — 7} \right) + {x^2} + 41x — 136 — {x^2} + 10x — 21}}{{\left( {x — 3} \right)\left( {x — 7} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{x^3} — 10{x^2} + 21x + 8{x^2} — 56x — 25x + 175 + 51x — 157}}{{\left( {x — 3} \right)\left( {x — 7} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{x^3} — 2{x^2} — 9x + 18}}{{\left( {x — 3} \right)\left( {x — 7} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{x^2}\left( {x — 2} \right) — 9\left( {x — 2} \right)}}{{\left( {x — 3} \right)\left( {x — 7} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{\left( {x — 2} \right)\left( {{x^2} — {3^2}} \right)}}{{\left( {x — 3} \right)\left( {x — 7} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{\left( {x — 2} \right)\left( {x — 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x — 3} \right)\left( {x — 7} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{\left( {x — 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x — 7} \right)}} \le 0,}\\{x — 3 \ne 0.\;\;\;\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( { — \infty ; — 3} \right] \cup \left[ {2;3} \right) \cup \left( {3;7} \right).\) Ответ: \(\left( { — \infty ; — 3} \right] \cup \left[ {2;3} \right) \cup \left( {3;7} \right).\) 