Рациональные неравенства. Задача 82

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ; — 3} \right] \cup \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {1;4} \right).\)

\({x^3} + 6{x^2} + \dfrac{{21{x^2} + 3x — 12}}{{x — 4}} \le 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{x^4} — 4{x^3} + 6{x^3} — 24{x^2} + 21{x^2} + 3x — 12 — 3x + 12}}{{x — 4}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{x^4} + 2{x^3} — 3{x^2}}}{{x — 4}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{x^2}\left( {{x^2} + 2x — 3} \right)}}{{x — 4}} \le 0.\)

\({x^2} + 2x — 3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} =  — 3,}\\{{x} = 1.\;\;}\end{array}} \right.\)

Тогда:  \({x^2} + 2x — 3 = \left( {x + 3} \right)\left( {x — 1} \right).\)

\(\dfrac{{{x^2}\left( {{x^2} + 2x — 3} \right)}}{{x — 4}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{x^2}\left( {x + 3} \right)\left( {x — 1} \right)}}{{x — 4}} \le 0.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left( { — \infty ; — 3} \right] \cup \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {1;4} \right).\)

Ответ:  \(\left( { — \infty ; — 3} \right] \cup \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {1;4} \right).\)