Рациональные неравенства. Задача 96

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\;3} \right] \cup \left( {4;6} \right).\)

\(\dfrac{{{x^2} — 5x + 3}}{{x — 4}} + \dfrac{{5x — 27}}{{x — 6}} \le x + 4.\)

Выделим целые части дробей  \(\dfrac{{{x^2} — 5x + 3}}{{x — 4}}\) и  \(\dfrac{{5x — 27}}{{x — 6}}\)  с помощью деления уголком:

\(\dfrac{{{x^2} — 5x + 3}}{{x — 4}} + \dfrac{{5x — 27}}{{x — 6}} \le x + 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x — 1 + \dfrac{{ — 1}}{{x — 4}} + 5 + \dfrac{3}{{x — 6}} \le x + 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{3}{{x — 6}} — \dfrac{1}{{x — 4}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{3x — 12 — x + 6}}{{\left( {x — 6} \right)\left( {x — 4} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{2x — 6}}{{\left( {x — 6} \right)\left( {x — 4} \right)}} \le 0.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left( { — \infty ;3} \right] \cup \left( {4;6} \right).\)

Ответ:  \(\left( { — \infty ;3} \right] \cup \left( {4;6} \right).\)