Простейшие логарифмические неравенства. Задача 8

Задача 8. Решите неравенство \({\log _{\dfrac{\pi }{4}}}\left( {5x-9} \right) \leqslant {\log _{\dfrac{\pi }{4}}}\left( {3x + 1} \right)\). В ответ запишите наименьшее целое решение

Ответ

ОТВЕТ: 5.

Решение

Так как \(\pi \approx 3,14\), то \(\dfrac{\pi }{4} < 1\):

\({\log _{\dfrac{\pi }{4}}}\left( {5x-9} \right) \le {\log _{\dfrac{\pi }{4}}}\left( {3x + 1} \right)\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5x-9 \ge 3x + 1,}\\{3x + 1 > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow } \right.\,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 5,\,\,\,\,}\\{x > -\dfrac{1}{3}}\end{array}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x\, \in \,\left[ {5;\infty } \right).} \right.\)

Следовательно, наименьшее целое решение равно 5.

Ответ: 5.