Алгебра 10-11 класс. Показательные неравенства, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного

Задача 1. Решите неравенство \({3^{2x}} — 4 \cdot {3^x} + 3 \leqslant 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ {0;\;1} \right].\)

Задача 2. Решите неравенство \({\left( {\frac{1}{7}} \right)^{2x}} + 6 \cdot {\left( {\frac{1}{7}} \right)^x} — 7 < 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {0;\;\infty } \right).\)

Задача 3. Решите неравенство \({2^{2x + 1}} — 5 \cdot {2^x} + 2 \geqslant 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\; — 1} \right] \cup \left[ {1;\;\infty } \right).\)

Задача 4. Решите неравенство \({0,5^{2x — 1}} + 3 \cdot {0,5^x} — 2 \geqslant 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\;1} \right].\)

Задача 5. Решите неравенство \(4 \cdot {4^{{x^2} + 2x — 5}} — 33 \cdot {2^{{x^2} + 2x — 5}} + 8 \geqslant 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\; — 4} \right] \cup \left[ { — 3;\;1} \right] \cup \left[ {2;\;\infty } \right).\)

Задача 6. Решите неравенство \({9^{4x — {x^2} — \,1}} — 36 \cdot {3^{4x — {x^2} — \,1}} + 243 \geqslant 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\;1} \right] \cup \left\{ 2 \right\} \cup \left[ {3;\;\infty } \right).\)

Задача 7. Решите неравенство \(\frac{1}{{{3^{x — 1}}}} + \frac{1}{{{3^x}}} + \frac{1}{{{3^{x + 1}}}} < 52\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — {{\log }_3}12;\;\infty } \right).\)

Задача 8. Решите неравенство \({9^{x — 3}} — {9^{x — 2}} + {9^{x\, — \,1}} > 511\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {3 + {{\log }_9}7;\;\infty } \right).\)

Задача 9. Решите неравенство \({2^{2x + 4}} — 16 \cdot {2^{x + 3}} — {2^{x + 1}} + 16 \leqslant 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ { — 3;\;3} \right].\)

Задача 10. Решите неравенство \({3^{ — 2x + 4}} — 81 \cdot {3^{ — x + 3}} — {3^{ — x + 1}} + 81 \leqslant 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ { — 3;\;3} \right].\)

Задача 11. Решите неравенство \({2^x} + 6 \cdot {2^{ — x}} \leqslant 7\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ {0;\;{{\log }_2}6} \right].\)

Задача 12. Решите неравенство \({3^x} + 10 \cdot {3^{ — x}} \leqslant 11\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ {0;\;{{\log }_3}10} \right].\)

Задача 13. Решите неравенство \({2^{2x\, — \,1}} — 7 \cdot {2^{x\,\, — \,1}} + 5 \leqslant 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ {1;\;{{\log }_2}5} \right].\)

Задача 14. Решите неравенство \(5 \cdot {2^{2x + 2}} — 21 \cdot {2^{x\; — \;1}} + 1 \leqslant 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ { — 3;\;{{\log }_2}\frac{2}{5}} \right].\)

Задача 15. Решите неравенство \({2^x} + 5 \cdot {2^{2 — x}} \leqslant 12\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ {1;\;{{\log }_2}10} \right].\)

Задача 16. Решите неравенство \({2^x} + 80 \cdot {2^{4 — x}} \leqslant 261\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ {{{\log }_2}5;\;8} \right].\)

Задача 17. Решите неравенство \({2^{{x^2}}} + 9 \cdot {2^{1\; — \;{x^2}}} \geqslant 19\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\; — \sqrt {1 + 2{{\log }_2}3} } \right] \cup \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {\sqrt {1 + 2{{\log }_2}3} ;\;\infty } \right).\)

Задача 18. Решите неравенство \({3^{{x^2}}} + 2 \cdot {3^{1\; — \;{x^2}}} \geqslant 7\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\; — \sqrt {1 + {{\log }_3}2} } \right] \cup \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {\sqrt {1 + {{\log }_3}2} ;\;\infty } \right).\)

Задача 19. Решите неравенство \({25^x} — {20^x} — 2 \cdot {16^x} \leqslant 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\;{{\log }_{1,25}}2} \right].\)

Задача 20. Решите неравенство \({25^x} — 5 \cdot {10^x} — 6 \cdot {4^x} \leqslant 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\;{{\log }_{2,5}}6} \right].\)

Задача 21. Решите неравенство \({9^x} — 2 \cdot {6^x} — 3 \cdot {4^x} \leqslant 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\;{{\log }_{1,5}}3} \right].\)

Задача 22. Решите неравенство \({16^x} — {12^x} — 2 \cdot {9^x} \geqslant 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ {{{\log }_{\frac{4}{3}}}2;\;\infty } \right).\)

Задача 23. Решите неравенство \({2^{2x — {x^2} — 1}} + \frac{1}{{{2^{2x — {x^2}}} — 1}} \leqslant 2\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\;0} \right) \cup \left\{ 1 \right\} \cup \left( {2;\;\infty } \right).\)

Задача 24. Решите неравенство \(\frac{2}{{{7^x} — 7}} \geqslant \frac{5}{{{7^x} — 4}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\;{{\log }_7}4} \right) \cup \left( {1;\;{{\log }_7}9} \right].\)

Задача 25. Решите неравенство \({8^x} — 3 \cdot {4^x} + \frac{{9 \cdot {4^x} — 288}}{{{2^x} — 9}} \leqslant 32\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left\{ 1 \right\} \cup \left[ {3;\;{{\log }_2}9} \right).\)

Задача 26. Решите неравенство \({125^x} — {25^x} + \frac{{4 \cdot {{25}^x} — 20}}{{{5^x} — 5}} \leqslant 4\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left\{ 0 \right\} \cup \left[ {{{\log }_5}4;\;1} \right).\)

Задача 27. Решите неравенство \(\frac{{320 — {4^{ — x\,\, — \,1}}}}{{128 — {2^{ — x}}}} \geqslant 2,5\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\; — 7} \right) \cup \left[ { — {{\log }_2}10;\;\infty } \right).\)

Задача 28. Решите неравенство \(\frac{{{8^{x\,\, + \,\,1}} — 40}}{{2 \cdot {{64}^x} — 32}} \leqslant 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left\{ {\frac{1}{3}} \right\} \cup \left( {\frac{2}{3};\;\infty } \right).\)

Задача 29. Решите неравенство \(\frac{{3 — {{0,25}^x}}}{{2 — {2^{ — x}}}} \geqslant 1,5\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\; — 1} \right) \cup \left[ {{{\log }_2}\frac{2}{3};\;\infty } \right).\)

Задача 30. Решите неравенство \(\frac{{3 — {4^x}}}{{2 — {2^x}}} \geqslant \frac{3}{2}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\;{{\log }_2}\frac{3}{2}} \right] \cup \left( {1;\;\infty } \right).\)

Задача 31. Решите неравенство \(\frac{{11 — {5^{x\, + \,1}}}}{{{{25}^x} — 5\left( {35 \cdot {5^{x\; — \;2}} — 2} \right)}} \geqslant 1,5\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ {0;\;{{\log }_5}2} \right) \cup \left[ {{{\log }_5}\frac{8}{3};\;1} \right).\)

Задача 32. Решите неравенство \(\frac{{13 — 5 \cdot {3^x}}}{{{9^x} — 12 \cdot {3^x} + 27}} \geqslant 0,5\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left\{ 0 \right\} \cup \left( {1;\;2} \right).\)

Задача 33. Решите неравенство \(\frac{3}{{{{\left( {{2^{2 — {x^2}}} — 1} \right)}^2}}} — \frac{4}{{{2^{2 — {x^2}}} — 1}} + 1 \geqslant 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\; — \sqrt 2 } \right) \cup \left( { — \sqrt 2 ;\; — 1} \right] \cup \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {1;\;\sqrt 2 } \right) \cup \left( {\sqrt 2 ;\;\infty } \right).\)

Задача 34. Решите неравенство \({\left( {{9^x} — 2 \cdot {3^x}} \right)^2} — 62\left( {{9^x} — 2 \cdot {3^x}} \right) — 63 \geqslant 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left\{ 0 \right\} \cup \left[ {2;\;\infty } \right).\)

Задача 35. Решите неравенство \(\frac{{{3^x} + 9}}{{{3^x} — 9}} + \frac{{{3^x} — 9}}{{{3^x} + 9}} \geqslant \frac{{4 \cdot {3^{x + 1}} + 144}}{{{9^x} — 81}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left\{ 1 \right\} \cup \left( {2;\;\infty } \right).\)

Задача 36. Решите неравенство \(\frac{{{2^x} + 8}}{{{2^x} — 8}} + \frac{{{2^x} — 8}}{{{2^x} + 8}} \geqslant \frac{{{2^{x + 4}} + 96}}{{{4^x} — 64}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left\{ 2 \right\} \cup \left( {3;\;\infty } \right).\)

Задача 37. Решите неравенство \(\frac{{{5^x}}}{{{5^x} — 4}} + \frac{{5{}^x + 5}}{{{5^x} — 5}} + \frac{{22}}{{{{25}^x} — 9 \cdot {5^x} + 20}} \leqslant 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left\{ 0 \right\} \cup \left( {{{\log }_5}4;\;1} \right).\)

Задача 38. Решите неравенство \(\frac{{2 \cdot {8^{x — 1}}}}{{2 \cdot {8^{x — 1}} — 1}} \geqslant \frac{3}{{{8^x} — 1}} + \frac{8}{{{{64}^x} — 5 \cdot {8^x} + 4}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\;0} \right) \cup \left\{ {\frac{1}{3}} \right\} \cup \left( {\frac{2}{3};\;\infty } \right).\)

Задача 39. Решите неравенство \(1 + \frac{{11}}{{{2^x} — 8}} + \frac{{28}}{{{4^x} — {2^{x + 4}} + 64}} \geqslant 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\;0} \right] \cup \left[ {2;\;3} \right) \cup \left( {3;\;\infty } \right).\)

Задача 40. Решите неравенство \(1 + \frac{{14}}{{{3^x} — 9}} + \frac{{48}}{{{9^x} — 2 \cdot {3^{x + 2}} + 81}} \geqslant 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\;0} \right] \cup \left[ {1;\;2} \right) \cup \left( {2;\;\infty } \right).\)

Задача 41. Решите неравенство \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\frac{{{x^2} — 3x + 4}}{x}}} — {\left( {\frac{1}{6}} \right)^{\frac{{{x^2} — 3x + 4}}{x}}} \leqslant 2 \cdot {\left( {\frac{1}{{12}}} \right)^{\frac{{{x^2} — 3x + 4}}{x}}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\;0} \right) \cup \left\{ 2 \right\}.\)

Задача 42. Решите неравенство \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\frac{{7x — {x^2} — 9}}{x}}} — 4 \cdot {\left( {\frac{1}{{15}}} \right)^{\frac{{7x — {x^2} — 9}}{x}}} \geqslant 5 \cdot {\left( {\frac{1}{{75}}} \right)^{\frac{{7x — {x^2} — 9}}{x}}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\;0} \right) \cup \left\{ 3 \right\}.\)

Задача 43. Решите неравенство \(\frac{{{{25}^x} — {5^{x + 2}} + 26}}{{{5^x} — 1}} + \frac{{{{25}^x} — 7 \cdot {5^x} + 1}}{{{5^x} — 7}} \leqslant 2 \cdot {5^x} — 24\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\;0} \right) \cup \left[ {1;\;{{\log }_5}7} \right).\)

Задача 44. Решите неравенство \(\frac{{{4^x} — {2^{x + 4}} + 30}}{{{2^x} — 2}} + \frac{{{4^x} — 7 \cdot {2^x} + 3}}{{{2^x} — 7}} \leqslant {2^{x + 1}} — 14\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\;1} \right) \cup \left[ {2;\;{{\log }_2}7} \right).\)

Задача 45. Решите неравенство \({3^x} + \frac{{2 \cdot {3^{x + 1}}}}{{{3^x} — 3}} + \frac{{{9^x} + 26 \cdot {3^x} + 21}}{{{9^x} — 4 \cdot {3^{x + 1}} + 27}} \leqslant 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\;0} \right] \cup \left[ {{{\log }_3}2;\;1} \right) \cup \left( {1;\;2} \right).\)

Задача 46. Решите неравенство \({2^x} + \frac{{{2^{x + 2}}}}{{{2^x} — 4}} + \frac{{{4^x} + 7 \cdot {2^x} + 20}}{{{4^x} — 3 \cdot {2^{x + 2}} + 32}} \leqslant 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\;0} \right] \cup \left[ {{{\log }_2}3;\;2} \right) \cup \left( {2;\;3} \right).\)

Задача 47. Решите неравенство \(\frac{{{{27}^{x + \frac{1}{3}}} — 10 \cdot {9^x} + 10 \cdot {3^x} — 5}}{{{9^{x + \frac{1}{2}}} — 10 \cdot {3^x} + 3}} \leqslant {3^x} + \frac{1}{{{3^x} — 2}} + \frac{1}{{{3^{x + 1}} — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\; — 1} \right) \cup \left( { — 1;\;0} \right] \cup \left( {{{\log }_3}2;\;1} \right).\)

Задача 48. Решите неравенство \({3^{\left| x \right|}} — 8 — \frac{{{3^{\left| x \right|}} + 9}}{{{9^{\left| x \right|}} — 4 \cdot {3^{\left| x \right|}} + 3}} \leqslant \frac{5}{{{3^{\left| x \right|}} — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ { — 2;\; — 1} \right) \cup \left[ { — {{\log }_3}2;\;0} \right) \cup \left( {0;\;{{\log }_3}2} \right] \cup \left( {1;\;2} \right].\)

Задача 49. Решите неравенство \(\frac{1}{{{3^x} — 1}} + \frac{{{9^{x + \frac{1}{2}}} — {3^{x + 3}} + 3}}{{{3^x} — 9}} \geqslant {3^{x + 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {0;\;1} \right] \cup \left( {2;\;\infty } \right).\)

Задача 50. Решите неравенство \(\frac{{2 \cdot {3^{2x + 1}} — 7 \cdot {6^x} + 2 \cdot {4^x}}}{{3 \cdot {9^x} — {3^x} \cdot {2^{x + 1}}}} \leqslant 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\; — 1} \right) \cup \left( { — 1;\;0} \right].\)

Задача 51. Решите неравенство \({25^x} + {5^{x + 1}} + {5^{1\, — \,x}} + \frac{1}{{{{25}^x}}} \leqslant 12\)

Ответ

ОТВЕТ: 0.

Задача 52. Решите неравенство \({9^x} + {3^{x + 1}} + {3^{1 — x}} + \frac{1}{{{9^x}}} \leqslant 8\)

Ответ

ОТВЕТ: 0.

Задача 53. Решите неравенство \({16^{\frac{1}{x}\,\, — \,\,1}} — {4^{\frac{1}{x}\, — \,1}} — 2 \geqslant 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {0;\,\frac{2}{3}} \right].\)

Задача 54. Решите неравенство \({9^{\frac{1}{x}\,\, — \,\,1}} + 2 \cdot {3^{\frac{1}{x}\, — \,1}} — 3 \geqslant 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {0;\,1} \right].\)

Задача 55. Решите неравенство \({\left( {{{25}^x} — 4 \cdot {5^x}} \right)^2} + 8 \cdot {5^x} < 2 \cdot {25^x} + 15\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\,0} \right) \cup \left( {{{\log }_5}3;\,1} \right).\)

Задача 56. Решите неравенство \({\left( {{9^x} — {3^{x + 1}}} \right)^2} + 8 \cdot {3^{x + 1}} < 8 \cdot {9^x} + 20\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\,0} \right) \cup \left( {{{\log }_3}2;\,{{\log }_3}5} \right).\)