Скачать файл в формате pdf.


Алгебра 10-11 класс. Логарифмические неравенства, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного

Задача 1. Решите неравенство    \({\lg ^2}x — \lg x — 2 > 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {0;\;\frac{1}{{10}}} \right) \cup \left( {100;\;\infty } \right).\)
Задача 2. Решите неравенство    \(\log _2^2x + 2{\log _2}x — 3 \leqslant 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ {\frac{1}{8};\;2} \right].\)
Задача 3. Решите неравенство    \(\log _2^2{x^2} — 15\;{\log _2}x — 4 \leqslant 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ {\sqrt[4]{{0,5}};\;16} \right].\)
Задача 4. Решите неравенство    \(\log _{0,2}^2{x^2} — 31\;{\log _{0,2}}x — 8 < 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\frac{1}{{{5^8}}};\;\sqrt[4]{5}} \right).\)
Задача 5. Решите неравенство    \(\log _2^2x > 16\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {0;\;\frac{1}{{16}}} \right) \cup \left( {16;\;\infty } \right).\)
Задача 6. Решите неравенство    \(\log _3^2x < 9\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\frac{1}{{27}};\;27} \right).\)
Задача 7. Решите неравенство    \(\frac{2}{{{{\log }_6}x + 1}} \leqslant 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {0;\;\frac{1}{6}} \right) \cup \left[ {6;\;\infty } \right).\)
Задача 8. Решите неравенство    \(\frac{4}{{{{\log }_2}x + 1}} \leqslant 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {0;\;\frac{1}{2}} \right) \cup \left[ {8;\;\infty } \right).\)
Задача 9. Решите неравенство    \(\frac{{4\lg x — 3}}{{\lg x — 1}} < 3\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {1;\;10} \right).\)
Задача 10. Решите неравенство    \(\frac{{3\lg x — 4}}{{\lg x — 1}} > 4\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {1;\;10} \right).\)
Задача 11. Решите неравенство    \(\frac{{5{{\lg }^2}x — 1}}{{{{\lg }^2}x — 1}} \geqslant 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {0;\;0,1} \right) \cup \left\{ 1 \right\} \cup \left( {10;\;\infty } \right).\)
Задача 12. Решите неравенство    \(\frac{{3{{\lg }^2}x — 8}}{{{{\lg }^2}x — 4}} \geqslant 2\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {0;\;0,01} \right) \cup \left\{ 1 \right\} \cup \left( {100;\;\infty } \right).\)
Задача 13. Решите неравенство    \(\log _{25}^{\,\,2}{x^2} \leqslant 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ { — 5;\; — 0,2} \right] \cup \left[ {0,2;\;5} \right].\)
Задача 14. Решите неравенство    \(\log _2^2{x^2} \leqslant 4\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ { — 2;\; — 0,5} \right] \cup \left[ {0,5;\;2} \right].\)
Задача 15. Решите неравенство    \(\left| {\left| {{{\log }_2}x — 1} \right| — 4} \right| < 2\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\frac{1}{{32}};\;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {8;\;128} \right).\)
Задача 16. Решите неравенство    \(\left| {\left| {{{\log }_2}x + 1} \right| — 2} \right| < 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\frac{1}{{16}};\;\frac{1}{4}} \right) \cup \left( {1;\;4} \right).\)
Задача 17. Решите неравенство    \(\frac{{{{\log }_3}x — 1}}{{{{\log }_3}x — 3}} \leqslant 1 + \frac{1}{{{{\log }_3}x — 2}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {0;\;3} \right] \cup \left( {9;\;27} \right).\)
Задача 18. Решите неравенство    \(\frac{{{{\log }_3}x}}{{{{\log }_3}x — 2}} \leqslant 1 + \frac{1}{{{{\log }_3}x — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {0;\;1} \right] \cup \left( {3;\;9} \right).\)
Задача 19. Решите неравенство    \(\log _7^2\left( {49 — {x^2}} \right) — 3{\log _7}\left( {49 — {x^2}} \right) + 2 \geqslant 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — 7;\; — \sqrt {42} } \right] \cup \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {\sqrt {42} ;\;7} \right).\)
Задача 20. Решите неравенство    \(\log _9^2\left( {729 — {x^2}} \right) — 5{\log _9}\left( {729 — {x^2}} \right) + 6 \geqslant 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — 27;\; — 18\sqrt 2 } \right] \cup \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {18\sqrt 2 ;\;27} \right).\)
Задача 21. Решите неравенство    \({\left( {\log _5^2x + 1} \right)^2} + 3 \leqslant 7\log _5^2x\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ {0,04;\;0,2} \right] \cup \left[ {5;\;25} \right].\)
Задача 22. Решите неравенство    \({\left( {\log _3^2x — 2} \right)^2} + 5 \leqslant 6\log _3^2x\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ {\frac{1}{{27}};\;\frac{1}{3}} \right] \cup \left[ {3;\;27} \right].\)
Задача 23. Решите неравенство    \(\log _{0,5}^{\;\,2}\left( {8 + 2x — {x^2}} \right) — 7{\log _2}\left( {8 + 2x — {x^2}} \right) <  — 12\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {0;\;2} \right).\)
Задача 24. Решите неравенство    \(\log _2^2\left( {4 + 3x — {x^2}} \right) + 6{\log _{0,5}}\left( {4 + 3x — {x^2}} \right) <  — 8\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {0;\;3} \right).\)
Задача 25. Решите неравенство    \({\left( {\log _2^2x — 2{{\log }_2}x} \right)^2} + 36{\log _2}x + 45 < 18\log _2^2x\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\frac{1}{8};\;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {8;\;32} \right).\)
Задача 26. Решите неравенство    \({\left( {\log _2^2x + 3{{\log }_2}x} \right)^2} < 2\log _2^2x + 6{\log _2}x + 8\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\frac{1}{{16}};\;\frac{1}{4}} \right) \cup \left( {\frac{1}{2};\;2} \right).\)
Задача 27. Решите неравенство    \(\frac{{12}}{{{{\left( {{{\lg }^2}x + 4\lg x} \right)}^2}}} + \frac{7}{{{{\lg }^2}x + 4\lg x}} + 1 \geqslant 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {0;\;0,0001} \right) \cup \left( {0,0001;\;0,001} \right] \cup \left\{ {0,01} \right\} \cup \left[ {0,1;\;1} \right) \cup \left( {1;\;\infty } \right).\)
Задача 28. Решите неравенство    \(\frac{{45}}{{{{\left( {\log _2^2x + 6{{\log }_2}x} \right)}^2}}} + \frac{{14}}{{\log _2^2x + 6{{\log }_2}x}} + 1 \geqslant 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {0;\;\frac{1}{{64}}} \right) \cup \left( {\frac{1}{{64}};\;\frac{1}{{32}}} \right] \cup \left\{ {\frac{1}{8}} \right\} \cup \left[ {\frac{1}{2};\;1} \right) \cup \left( {1;\;\infty } \right).\)
Задача 29. Решите неравенство    \(\frac{{3\lg \left( {x + 2} \right) + 1}}{{{{\lg }^2}\left( {x + 2} \right) + \lg \left( {x + 2} \right)}} \geqslant 1 + {\log _{x + 2}}10\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — 1,9;\; — 1} \right) \cup \left( { — 1;\;8} \right].\)
Задача 30. Решите неравенство    \(\frac{{4{{\log }_5}\left( {x — 2} \right) + 1}}{{\log _5^2\left( {x — 2} \right) + {{\log }_5}\left( {x — 2} \right)}} \geqslant 1 + {\log _{x — 2}}5\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {2,2;\;3} \right) \cup \left( {3;\;27} \right].\)
Задача 31. Решите неравенство    \(\frac{1}{{4 + {{\log }_2}x}} + \frac{2}{{{{\log }_2}\left( {2x} \right)}}\left( {\frac{3}{{4 + {{\log }_2}x}} — 1} \right) \leqslant 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\frac{1}{{16}};\;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {\frac{1}{2};\;\infty } \right).\)
Задача 32. Решите неравенство    \(\frac{3}{{5 + {{\log }_2}x}} + \frac{1}{{{{\log }_2}\left( {4x} \right)}}\left( {\frac{3}{{5 + {{\log }_2}x}} — 1} \right) \geqslant 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\frac{1}{{32}};\;\frac{1}{4}} \right) \cup \left( {\frac{1}{4};\;\infty } \right).\)
Задача 33. Решите неравенство    \(\frac{{{{\lg }^2}x + \lg x — 1}}{{\lg x}} + \frac{{7{{\lg }^2}x — 7\lg x + 2}}{{\lg \left( {0,1x} \right)}} \leqslant 8\lg x + 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {0;\;0,1} \right] \cup \left( {1;\;10} \right).\)
Задача 34. Решите неравенство    \(\frac{{{{\lg }^2}x + \lg x — 4}}{{\lg \left( {0,1x} \right)}} + \frac{{6{{\lg }^2}x — 24\lg x + 5}}{{\lg x — 4}} \leqslant 7\lg x + 2\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {0;\;0,1} \right] \cup \left( {10;\;10000} \right).\)
Задача 35. Решите неравенство    \(\log _2^2\left( { — {{\log }_2}x} \right) + {\log _2}\log _2^2x \leqslant 3\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ {\frac{1}{4};\;\frac{1}{{\sqrt[8]{2}}}} \right].\)
Задача 36. Решите неравенство    \(\log _{0,5}^{\;2}\left( { — {{\log }_3}x} \right) — {\log _{0,5}}\log _3^2x \leqslant 3\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ {\frac{1}{9};\;\frac{1}{{\sqrt[8]{3}}}} \right].\)
Задача 37. Решите неравенство    \(\frac{{{{\log }_4}\left( {64x} \right)}}{{{{\log }_4}x — 3}} + \frac{{{{\log }_4}x — 3}}{{{{\log }_4}\left( {64x} \right)}} \geqslant \frac{{{{\log }_4}{x^4} + 16}}{{\log _4^2x — 9}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {0;\;\frac{1}{{64}}} \right) \cup \left\{ 4 \right\} \cup \left( {64;\;\infty } \right).\)
Задача 38. Решите неравенство    \(1 + \frac{{10}}{{{{\log }_2}x — 5}} + \frac{{16}}{{\log _2^2x — {{\log }_2}\left( {32{x^{10}}} \right) + 30}} \geqslant 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {0;\;\frac{1}{8}} \right] \cup \left[ {8;\;32} \right) \cup \left( {32;\;\infty } \right).\)
Задача 39. Решите неравенство    \(\frac{{{{\log }_4}\left( {16{x^4}} \right) + 11}}{{\log _4^2x — 9}} \geqslant  — 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {0;\;\frac{1}{{64}}} \right) \cup \left\{ {\frac{1}{{16}}} \right\} \cup \left( {64;\;\infty } \right).\)
Задача 40. Решите неравенство    \(\frac{{{{\log }_7}\left( {49{x^2}} \right) — 7}}{{\log _7^2x — 4}} \leqslant 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {0;\;\frac{1}{{49}}} \right) \cup \left\{ 7 \right\} \cup \left( {49;\;\infty } \right).\)
Задача 41. Решите неравенство    \({\lg ^4}x — 4{\lg ^3}x + 5{\lg ^2}x — 2\lg x \geqslant 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {0;\;1} \right] \cup \left\{ {10} \right\} \cup \left[ {100;\;\infty } \right).\)
Задача 42. Решите неравенство    \({\lg ^4}x + 3{\lg ^3}x — 4\lg x \leqslant 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left\{ {\frac{1}{{100}}} \right\} \cup \left[ {1;\;10} \right].\)
Задача 43. Решите неравенство    \({5^{\log _5^2x}} + {x^{{{\log }_5}x}} \geqslant 2\sqrt[4]{5}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {0;\;\frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right] \cup \left[ {\sqrt 5 ;\;\infty } \right).\)
Задача 44. Решите неравенство    \({3^{\log _3^2x}} + {x^{{{\log }_3}x}} > 2\sqrt[4]{3}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {0;\;\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) \cup \left( {\sqrt 3 ;\;\infty } \right).\)
Задача 45. Решите неравенство  \(\frac{2}{{{{\log }_2}\left( {2x — 2} \right)}} + \frac{3}{{{{\log }_2}\left( {4x — 4} \right)}} \leqslant \frac{8}{{{{\log }_3}27 + {{\log }_2}\left( {x — 1} \right)}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\frac{9}{8};\,\frac{5}{4}} \right) \cup \left[ {1 + \frac{1}{{2\,\,\sqrt[3]{4}}};\,\frac{3}{2}} \right) \cup \left[ {3;\,\infty } \right).\)
Задача 46. Решите неравенство    \(\frac{8}{{{{\log }_2}16x}} \geqslant \frac{3}{{{{\log }_2}8x}} + \frac{1}{{{{\log }_2}2x}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\frac{1}{{16}};\,\frac{1}{8}} \right) \cup \left[ {\frac{{\sqrt 2 }}{8};\,\frac{1}{2}} \right) \cup \left[ {1;\,\infty } \right).\)