Задача 35. Решите неравенство \(\log _2^2\left( { — {{\log }_2}x} \right) + {\log _2}\log _2^2x \leqslant 3\)
ОТВЕТ: \(\left[ {\dfrac{1}{4};\;\dfrac{1}{{\sqrt[8]{2}}}} \right].\)
\(\log _2^2\left( {-{{\log }_2}x} \right) + {\log _2}\log _2^2x \le 3.\) Найдём ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-{{\log }_2}x > 0,}\\{x > 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x < 0,}\\{x > 0\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x < {{\log }_2}1,}\\{x > 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1,}\\{x > 0\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;0 < x < 1.\) \(\log _2^2\left( {-{{\log }_2}x} \right) + {\log _2}\log _2^2x \le 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\log _2^2\left( {-{{\log }_2}x} \right) + 2{\log _2}\left| {{{\log }_2}x} \right|-3 \le 0.\) Так как \({\log _2}x < 0,\) то \(\left| {{{\log }_2}x} \right| = -{\log _2}x.\) Тогда полученное неравенство примет вид: \(\log _2^2\left( {-{{\log }_2}x} \right) + 2{\log _2}\left( {-{{\log }_2}x} \right)-3 \le 0.\) Пусть \({\log _2}\left( {-{{\log }_2}x} \right) = t.\) Последнее неравенство примет вид: \({t^2} + 2t-3 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {t + 3} \right)\left( {t-1} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-3 \le t \le 1.\) Вернёмся к прежней переменной: \(-3 \le {\log _2}\left( {-{{\log }_2}x} \right) \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _2}\dfrac{1}{8} \le {\log _2}\left( {-{{\log }_2}x} \right) \le {\log _2}2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{1}{8} \le -{\log _2}x \le 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;-2 \le {\log _2}x \le -\dfrac{1}{8}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _2}\dfrac{1}{4} \le {\log _2}x \le {\log _2}{2^{-\frac{1}{8}}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{1}{4} \le x \le \dfrac{1}{{\sqrt[8]{2}}}.\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {\dfrac{1}{4};\;\dfrac{1}{{\sqrt[8]{2}}}} \right].\) Ответ: \(\left[ {\dfrac{1}{4};\;\dfrac{1}{{\sqrt[8]{2}}}} \right].\)