Задача 42. Решите неравенство \({\lg ^4}x + 3{\lg ^3}x — 4\lg x \leqslant 0\)
ОТВЕТ: \(\left\{ {\dfrac{1}{{100}}} \right\} \cup \left[ {1;\;10} \right].\)
\({\lg ^4}x + 3{\lg ^3}x-4\lg x \le 0.\) Запишем ОДЗ: \(x > 0.\) Пусть \(\lg x = t.\) Тогда неравенство примет вид: \({t^4} + 3{t^3}-4t \le 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: \({t^4} + 3{t^3}-4t = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t\left( {{t^3} + 3{t^2}-4} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{t^3} + 3{t^2}-4 = 0.}\end{array}} \right.\) Кандидатами в целые корни полученного кубического уравнения \({t^3} + 3{t^2}-4 = 0\) являются делители свободного члена, равного \(-4,\) то есть: \( \pm 1;\,\,\, \pm 2;\,\,\, \pm 4.\) Подходит \(t = 1.\) Разделим многочлен \({t^3} + 3{t^2}-4\) на многочлен \(t-1:\) Следовательно, многочлен \({t^3} + 3{t^2}-4\) раскладывается на множители \(\left( {{t^2} + 4t + 4} \right)\left( {t-1} \right).\) Тогда: \(t\left( {{t^3} + 3{t^2}-4} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t\left( {{t^2} + 4t + 4} \right)\left( {t-1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{{{\left( {t + 2} \right)}^2} = 0,}\\{t-1 = 0\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0,\;\;}\\{t = -2,}\\{t = 1.\;\;\,}\end{array}} \right.\) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = -2,\;\;}\\{0 \le t \le 1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\lg x = -2,\;\;}\\{0 \le \lg x \le 1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\lg x = \lg \dfrac{1}{{100}},\;\;\;\;}\\{\lg 1 \le \lg x \le \lg 10}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{1}{{100}},\;\;}\\{1 \le x \le 10.}\end{array}} \right.\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left\{ {\dfrac{1}{{100}}} \right\} \cup \left[ {1;\;10} \right].\) Ответ: \(\left\{ {\dfrac{1}{{100}}} \right\} \cup \left[ {1;\;10} \right].\) 
