Задача 55. Решите неравенство \(\dfrac{{1-\sqrt {1-4\log _8^2x} }}{{{{\log }_8}x}} < 2\).
ОТВЕТ: \(\left[ {\dfrac{{\sqrt 2 }}{4};\;1} \right) \cup \left( {1;\;\sqrt 8 } \right).\)
\(\dfrac{{1-\sqrt {1-4\log _8^2x} }}{{{{\log }_8}x}} < 2.\) Запишем ограничение на подлогарифмическое выражение: \(x > 0.\) Пусть \({\log _8}x = t.\) Тогда неравенство примет вид: \(\dfrac{{1-\sqrt {1-4{t^2}} }}{t} < 2.\) Запишем ограничение на подкоренное выражение: \(1-4{t^2} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^2}-\dfrac{1}{4} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {t-\dfrac{1}{2}} \right)\left( {t + \dfrac{1}{2}} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t\, \in \,\left[ {-\dfrac{1}{2};\frac{1}{2}} \right].\) \(\dfrac{{1-\sqrt {1-4{t^2}} }}{t}-2 < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{1-2t-\sqrt {1-4{t^2}} }}{t} < 0.\) Решим последнее неравенство методом интервалов при условии, что \(t\, \in \,\left[ {-\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right]\). Найдём нули числителя: \(1-2t-\sqrt {1-4{t^2}} = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt {1-4{t^2}} = 1-2t\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1-2t \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{1-4{t^2} = {{\left( {1-2t} \right)}^2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le \dfrac{1}{2},\,}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0,}\\{t = \dfrac{1}{2}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0,\,}\\{t = \dfrac{1}{2}.}\end{array}} \right.\) Найдём нули знаменателя: \(t = 0.\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-\dfrac{1}{2} \le t < \dfrac{1}{2},}\\{t \ne 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-\dfrac{1}{2} \le {{\log }_8}x < \dfrac{1}{2},}\\{{{\log }_8}x \ne 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_8}\dfrac{{\sqrt 8 }}{8} \le {{\log }_8}x < {{\log }_8}\sqrt 8 ,}\\{{{\log }_8}x \ne {{\log }_8}1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\sqrt 2 }}{4} \le x < \sqrt 8 ,}\\{x \ne 1.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {\dfrac{{\sqrt 2 }}{4};\;1} \right) \cup \left( {1;\;\sqrt 8 } \right).\) Ответ: \(\left[ {\dfrac{{\sqrt 2 }}{4};\;1} \right) \cup \left( {1;\;\sqrt 8 } \right).\) 