Задача 56. Решите неравенство \(\dfrac{{1-\sqrt {1-8\log _2^2x} }}{{2{{\log }_2}x}} < 1.\)
ОТВЕТ: \(\left[ {{2^{-\,\,\frac{{\sqrt 2 }}{4}}};\;1} \right) \cup \left( {1;\;{2^{\frac{1}{3}}}} \right).\)
\(\dfrac{{1-\sqrt {1-8\log _2^2x} }}{{2{{\log }_2}x}} < 1.\) Запишем ограничение на подлогарифмическое выражение: \(x > 0.\) Пусть \({\log _2}x = t.\) Тогда неравенство примет вид: \(\dfrac{{1-\sqrt {1-8{t^2}} }}{{2t}} < 1.\) Запишем ограничение на подкоренное выражение: \(1-8{t^2} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^2}-\dfrac{1}{8} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {t-\dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)\left( {t + \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t\, \in \,\left[ {-\dfrac{{\sqrt 2 }}{4};\dfrac{{\sqrt 2 }}{4}} \right].\) \(\dfrac{{1-\sqrt {1-8{t^2}} }}{{2t}}-1 < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{1-2t-\sqrt {1-8{t^2}} }}{{2t}} < 0.\) Решим последнее неравенство методом интервалов при условии, что \(t\, \in \,\left[ {-\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right]\). Найдём нули числителя: \(1-2t-\sqrt {1-8{t^2}} = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt {1-8{t^2}} = 1-2t\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1-2t \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{1-8{t^2} = {{\left( {1-2t} \right)}^2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le \dfrac{1}{2},\,}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0,}\\{t = \dfrac{1}{3}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0,\,}\\{t = \dfrac{1}{3}.}\end{array}} \right.\) Найдём нули знаменателя: \(t = 0.\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-\dfrac{{\sqrt 2 }}{4} \le t < \dfrac{1}{3},}\\{t \ne 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-\dfrac{{\sqrt 2 }}{4} \le {{\log }_2}x < \dfrac{1}{3},}\\{{{\log }_2}x \ne 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}{2^{-\frac{{\sqrt 2 }}{4}}} \le {{\log }_2}x < {{\log }_2}{2^{\frac{1}{3}}},}\\{{{\log }_2}x \ne {{\log }_2}1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^{-\frac{{\sqrt 2 }}{4}}} \le x < {2^{\frac{1}{3}}},}\\{x \ne 1.\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {{2^{-\,\,\frac{{\sqrt 2 }}{4}}};\;1} \right) \cup \left( {1;\;{2^{\frac{1}{3}}}} \right).\) Ответ: \(\left[ {{2^{-\,\,\frac{{\sqrt 2 }}{4}}};\;1} \right) \cup \left( {1;\;{2^{\frac{1}{3}}}} \right).\) 