Задача 63. Решите неравенство \({\log _2}\left( {\left( {{7^{-{x^2}}}-3} \right)\left( {{7^{-{x^2} + 16}}-1} \right)} \right) + {\log _2}\dfrac{{{7^{-{x^2}}}-3}}{{{7^{-{x^2} + 16}}-1}} > {\log _2}{\left( {{7^{7-{x^2}}}-2} \right)^2}\).
ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;\;-4} \right) \cup \left( {4;\;\infty } \right).\)
\({\log _2}\left( {\left( {{7^{-{x^2}}}-3} \right)\left( {{7^{-{x^2} + 16}}-1} \right)} \right) + {\log _2}\dfrac{{{7^{-{x^2}}}-3}}{{{7^{-{x^2} + 16}}-1}} > {\log _2}{\left( {{7^{7-{x^2}}}-2} \right)^2}.\) Найдём ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {{7^{-{x^2}}}-3} \right)\left( {{7^{-{x^2} + 16}}-1} \right) > 0,}\\{\dfrac{{{7^{-{x^2}}}-3}}{{{7^{-{x^2} + 16}}-1}} > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;}\\{{{\left( {{7^{7-{x^2}}}-2} \right)}^2} > 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {{7^{-{x^2}}}-3} \right)\left( {{7^{-{x^2} + 16}}-1} \right) > 0,}\\{{7^{7-{x^2}}}-2 \ne 0.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) Решим первое неравенство системы методом интервалов: \(\left( {{7^{-{x^2}}}-3} \right)\left( {{7^{-{x^2} + 16}}-1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{7^{-{x^2}}} = 3,\;\;}\\{{7^{-{x^2} + 16}} = 1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{7^{-{x^2}}} = {7^{{{\log }_7}3}},}\\{{7^{-{x^2} + 16}} = {7^0}\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} = -{{\log }_7}3,}\\{{x^2}-16 = 0\;\;\,\,}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \notin R,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;}\\{\left( {x-4} \right)\left( {x + 4} \right) = 0}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \pm 4.} \right.} \right.\) Следовательно, \(x\, \in \,\left( {-\infty ;-4} \right) \cup \left( {4;\infty } \right).\) Рассмотрим условие: \({7^{7-{x^2}}}-2 \ne 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\,\;{7^{7-{x^2}}} \ne {7^{{{\log }_7}2}}\;\;\,\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} \ne 7-{\log _7}2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \ne \pm \sqrt {7-{{\log }_7}2} .\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {{7^{-{x^2}}}-3} \right)\left( {{7^{-{x^2} + 16}}-1} \right) > 0,}\\{{7^{7-{x^2}}}-2 \ne 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\, \in \,\left( {-\infty ;-4} \right) \cup \left( {4;\infty } \right),}\\{x \ne \pm \sqrt {7-{{\log }_7}2} \;\;\;\;\;\;\,}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\, \in \,\left( {-\infty ;-4} \right) \cup \left( {4;\infty } \right).} \right.\) Вернёмся к исходному неравенству: \({\log _2}\left( {\left( {{7^{-{x^2}}}-3} \right)\left( {{7^{-{x^2} + 16}}-1} \right)} \right) + {\log _2}\dfrac{{{7^{-{x^2}}}-3}}{{{7^{-{x^2} + 16}}-1}} > {\log _2}{\left( {{7^{7-{x^2}}}-2} \right)^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\,{\log _2}{\left( {{7^{-{x^2}}}-3} \right)^2} > {\log _2}{\left( {{7^{7-{x^2}}}-2} \right)^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {{7^{-{x^2}}}-3} \right)^2} > {\left( {{7^{7-{x^2}}}-2} \right)^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{7^{-{x^2}}}-3-{7^7} \cdot {7^{-{x^2}}} + 2} \right)\left( {{7^{-{x^2}}}-3 + {7^7} \cdot {7^{-{x^2}}}-2} \right) > 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: \(\left( {{7^{-{x^2}}}-3-{7^7} \cdot {7^{-{x^2}}} + 2} \right)\left( {{7^{-{x^2}}}-3 + {7^7} \cdot {7^{-{x^2}}}-2} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{7^{-{x^2}}}-1-{7^7} \cdot {7^{-{x^2}}} = 0,}\\{{7^{-{x^2}}}-5 + {7^7} \cdot {7^{-{x^2}}} = 0\,}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {1-{7^7}} \right){7^{-{x^2}}} = 1,\;}\\{\left( {1 + {7^7}} \right) \cdot {7^{-{x^2}}} = 5}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{7^{-{x^2}}} = \frac{1}{{1-{7^7}}},}\\{{7^{-{x^2}}} = \frac{5}{{1 + {7^7}}}\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{7^{-{x^2}}} = \frac{1}{{1-{7^7}}},}\\{{7^{-{x^2}}} = {7^{{{\log }_7}\frac{5}{{1 + {7^7}}}}}}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{7^{-{x^2}}} = \dfrac{1}{{1-{7^7}}},\;\;\;}\\{{x^2} = {{\log }_7}\dfrac{{1 + {7^7}}}{5}}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \notin R,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x = \pm \sqrt {{{\log }_7}\dfrac{{1 + {7^7}}}{5}} }\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\;\;\;\;x = \pm \sqrt {{{\log }_7}\dfrac{{1 + {7^7}}}{5}} .\) Следовательно, \(x\, \in \,\left( {-\infty ;-\sqrt {{{\log }_5}\dfrac{{1 + {7^7}}}{5}} } \right) \cup \left( {\sqrt {{{\log }_5}\dfrac{{1 + {7^7}}}{5}} ;\infty } \right).\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-\infty ;\;-4} \right) \cup \left( {4;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {-\infty ;\;-4} \right) \cup \left( {4;\;\infty } \right).\) 
