Задача 64. Решите неравенство \({\log _7}\left( {\left( {{5^{-{x^2}}}-5} \right)\left( {{5^{-{x^2} + 16}}-1} \right)} \right) + {\log _7}\dfrac{{{5^{-{x^2}}}-5}}{{{5^{-{x^2} + 16}}-1}} > {\log _7}{\left( {{5^{13-{x^2}}}-4} \right)^2}\).
ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;\;-4} \right) \cup \left( {4;\;\infty } \right).\)
\({\log _7}\left( {\left( {{5^{-{x^2}}}-5} \right)\left( {{5^{-{x^2} + 16}}-1} \right)} \right) + {\log _7}\dfrac{{{5^{-{x^2}}}-5}}{{{5^{-{x^2} + 16}}-1}} > {\log _7}{\left( {{5^{13-{x^2}}}-4} \right)^2}.\) Найдём ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {{5^{-{x^2}}}-5} \right)\left( {{5^{-{x^2} + 16}}-1} \right) > 0,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{{5^{-{x^2}}}-5}}{{{5^{-{x^2} + 16}}-1}} > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{{{\left( {{5^{13-{x^2}}}-4} \right)}^2} > 0\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {{5^{-{x^2}}}-5} \right)\left( {{5^{-{x^2} + 16}}-1} \right) > 0,}\\{{5^{13-{x^2}}}-4 \ne 0.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) Решим первое неравенство системы методом интервалов: \(\left( {{5^{-{x^2}}}-5} \right)\left( {{5^{-{x^2} + 16}}-1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{5^{-{x^2}}} = 5,\;\,\;}\\{{5^{-{x^2} + 16}} = 5}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{5^{-{x^2}}} = {5^1},\;\;\;}\\{{7^{-{x^2} + 16}} = {5^0}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} = -1,\,\;\;\;\,}\\{{x^2}-16 = 0}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \notin R,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;}\\{\left( {x-4} \right)\left( {x + 4} \right) = 0}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \pm 4.} \right.} \right.\) Следовательно, \(x\, \in \,\left( {-\infty ;-4} \right) \cup \left( {4;\infty } \right).\) Рассмотрим условие: \({5^{13-{x^2}}}-4 \ne 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\,\;{5^{13-{x^2}}} \ne {5^{{{\log }_5}4}}\;\;\,\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} \ne 13-{\log _5}4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \ne \pm \sqrt {13-{{\log }_5}4} .\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {{5^{-{x^2}}}-5} \right)\left( {{5^{-{x^2} + 16}}-1} \right) > 0,}\\{{5^{13-{x^2}}}-4 \ne 0\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\, \in \,\left( {-\infty ;-4} \right) \cup \left( {4;\infty } \right),}\\{x \ne \pm \sqrt {13-{{\log }_5}4} \;\;\;\,\;\,}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\, \in \,\left( {-\infty ;-4} \right) \cup \left( {4;\infty } \right).} \right.\) Вернёмся к исходному неравенству: \({\log _7}\left( {\left( {{5^{-{x^2}}}-5} \right)\left( {{5^{-{x^2} + 16}}-1} \right)} \right) + {\log _7}\dfrac{{{5^{-{x^2}}}-5}}{{{5^{-{x^2} + 16}}-1}} > {\log _7}{\left( {{5^{13-{x^2}}}-4} \right)^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\,{\log _7}{\left( {{5^{-{x^2}}}-5} \right)^2} > {\log _7}{\left( {{5^{13-{x^2}}}-4} \right)^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {{5^{-{x^2}}}-5} \right)^2} > {\left( {{5^{13-{x^2}}}-4} \right)^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{5^{-{x^2}}}-5-{5^{13}} \cdot {5^{-{x^2}}} + 4} \right)\left( {{5^{-{x^2}}}-5 + {5^{13}} \cdot {5^{-{x^2}}}-4} \right) > 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: \(\left( {{5^{-{x^2}}}-5-{5^{13}} \cdot {5^{-{x^2}}} + 4} \right)\left( {{5^{-{x^2}}}-5 + {5^{13}} \cdot {5^{-{x^2}}}-4} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{5^{-{x^2}}}-1-{5^{13}} \cdot {5^{-{x^2}}} = 0,}\\{{5^{-{x^2}}}-9 + {5^{13}} \cdot {5^{-{x^2}}} = 0\,}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {1-{5^{13}}} \right){5^{-{x^2}}} = 1,\;}\\{\left( {1 + {5^{13}}} \right) \cdot {5^{-{x^2}}} = 9}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{5^{-{x^2}}} = \frac{1}{{1-{5^{13}}}},}\\{{5^{-{x^2}}} = \frac{9}{{1 + {5^{13}}}}\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{5^{-{x^2}}} = \frac{1}{{1-{5^{13}}}},\,}\\{{5^{-{x^2}}} = {5^{{{\log }_5}\frac{9}{{1 + {5^{13}}}}}}}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{5^{-{x^2}}} = \dfrac{1}{{1-{5^{13}}}},\;\;\;}\\{{x^2} = {{\log }_5}\dfrac{{1 + {5^{13}}}}{9}}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \notin R,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x = \pm \sqrt {{{\log }_5}\dfrac{{1 + {5^{13}}}}{9}} }\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\;\;\;\;x = \pm \sqrt {{{\log }_5}\dfrac{{1 + {5^{13}}}}{9}} .\) Следовательно, \(x\, \in \,\left( {-\infty ;-\sqrt {{{\log }_5}\dfrac{{1-{5^{13}}}}{9}} } \right) \cup \left( {\sqrt {{{\log }_5}\dfrac{{1-{5^{13}}}}{9}} ;\infty } \right).\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-\infty ;\;-4} \right) \cup \left( {4;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {-\infty ;\;-4} \right) \cup \left( {4;\;\infty } \right).\) 
