Задача 65. Решите неравенство \({x^2}\log _4^2x + 10\log _3^2x \le x{\log _4}x{\log _3}{x^7}\).
ОТВЕТ: \(\left\{ 1 \right\} \cup \left[ {2{{\log }_3}4;5{{\log }_3}4} \right].\)
\({x^2}\log _4^2x + 10\log _3^2x \le x{\log _4}x{\log _3}{x^7}.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,}\\{{x^7} > 0}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > 0.\) \({x^2}\log _4^2x + 10\log _3^2x \le x{\log _4}x{\log _3}{x^7}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}\log _4^2x-7x{\log _4}x{\log _3}x + 10\log _3^2x \le 0.\) Воспользуемся свойством перехода к новому основанию: \({\log _a}b = \dfrac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}.\) Тогда полученное неравенство примет вид: \({x^2}\log _4^2x-\dfrac{{7x{{\log }_4}x \cdot {{\log }_4}x}}{{{{\log }_4}3}} + 10\dfrac{{\log _4^2x}}{{\log _4^23}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\log _4^2x\left( {{x^2}-\dfrac{{7x}}{{{{\log }_4}3}} + \dfrac{{10}}{{\log _4^23}}} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\log _4^2x\left( {{x^2}-7x{{\log }_3}4 + 10\log _3^24} \right) \le 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\log _4^2x = 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{x^2}-7x{{\log }_3}4 + 10\log _3^24 \le 0.}\end{array}} \right.\) Решим уравнение последней совокупности: \(\log _4^2x = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{\log _4}x = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 1.\) Решим неравенство последней совокупности: \({x^2}-7x{\log _3}4 + 10\log _3^24 \le 0;\;\;\;\;\;\;\;D = 49\log _3^24-40\log _3^24 = 9\log _3^24;\;\;\;\; \) \(\sqrt D = 3{\log _3}4;\;\;\;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} = \dfrac{{7{{\log }_3}4 + 3{{\log }_3}4}}{2} = 5{{\log }_3}4,}\\{{x_2} = \dfrac{{7{{\log }_3}4-3{{\log }_3}4}}{2} = 2{{\log }_3}4}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \in \left[ {2{{\log }_3}4;\,\,5{{\log }_3}4} \right].\) Так как ОДЗ \(x > 0,\) то решением исходного неравенства является: \(x \in \left\{ 1 \right\} \cup \left[ {2{{\log }_3}4;5{{\log }_3}4} \right].\) Ответ: \(\left\{ 1 \right\} \cup \left[ {2{{\log }_3}4;5{{\log }_3}4} \right].\)