\(1-\dfrac{1}{{{{\log }_{x-4}}0,2}} \le \dfrac{2}{{{{\log }_{x + 20}}25}}.\)
Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-4 > 0,\;\;}\\{x-4 \ne 1,\;\;\,}\\{x + 20 > 0,}\\{x + 20 \ne 1\;\,}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 4,\;\;\;\;\;\,}\\{x \ne 5,\;\;\,\;\;\;}\\{x > -20,\;\,}\\{x \ne -19.\;\,}\end{array}} \right.\)
Найдём общее решение полученной системы:
Следовательно, ОДЗ: \(x\, \in \,\left( {4;5} \right) \cup \left( {5;\infty } \right).\)
Вернёмся к исходному неравенству. Воспользуемся свойством: \({\log _a}b = \dfrac{1}{{{{\log }_b}a}}.\)
\(1-\dfrac{1}{{{{\log }_{x-4}}0,2}} \le \dfrac{2}{{{{\log }_{x + 20}}25}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;1-\dfrac{1}{{{{\log }_{x-4}}{5^{-1}}}} \le \dfrac{2}{{{{\log }_{x + 20}}{5^2}}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;1 + \dfrac{1}{{{{\log }_{x-4}}5}} \le \dfrac{2}{{2{{\log }_{x + 20}}5}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _5}5 + {\log _5}\left( {x-4} \right) \le {\log _5}\left( {x + 20} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _5}\left( {5\left( {x-4} \right)} \right) \le {\log _5}\left( {x + 20} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;5x-20 \le x + 20\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;4x \le 40\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \le 10.\)
Найдём общее решение с ОДЗ:
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {4;\;5} \right) \cup \left( {5;\;10} \right].\)
Ответ: \(\left( {4;\;5} \right) \cup \left( {5;\;10} \right].\)