Свойства логарифмов. Логарифмические вычисления. Задача 14math100admin44242025-03-27T21:01:30+03:00
Задача 14. Вычислите \(\dfrac{{\lg 250 — \lg 2,5}}{{{{\log }_5}312,5 + {{\log }_5}2}} + {\log _{\sqrt 2 }}\sqrt[3]{{128\sqrt 2 }}\)
Решение
Воспользуемся свойствами: \({\log _a}b-{\log _a}c = {\log _a}\dfrac{b}{c};\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\log _a}b + {\log _a}c = {\log _a}\left( {bc} \right).\)
\(\dfrac{{\lg 250-\lg 2,5}}{{{{\log }_5}312,5 + {{\log }_5}2}} + {\log _{\sqrt 2 }}\sqrt[3]{{128\sqrt 2 }} = \dfrac{{\lg \dfrac{{250}}{{2,5}}}}{{{{\log }_5}\left( {312,5 \cdot 2} \right)}} + {\log _{{2^{\frac{1}{2}}}}}{\left( {{2^7} \cdot {2^{\frac{1}{2}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} = \)
\( = \dfrac{{\lg 100}}{{{{\log }_5}625}} + \dfrac{1}{{\dfrac{1}{2}}}{\log _2}{2^{\frac{{15}}{6}}} = \dfrac{2}{4} + 2 \cdot \dfrac{{15}}{6} = 0,5 + 5 = 5,5.\)
Ответ: 5,5.