Свойства логарифмов. Логарифмические вычисления. Задача 33math100admin44242024-03-03T18:47:37+03:00
Задача 33. Вычислите \({3^{\sqrt {\,{{\log }_3}2} }}-{2^{\sqrt {\,{{\log }_2}3} }} + {\left( {{5^{{{\log }_3}7}}} \right)^{{{\log }_5}3}}\)
Решение
\({a^{\sqrt {{{\log }_a}b} }} = {\left( {{b^{{{\log }_b}a}}} \right)^{\sqrt {{{\log }_a}b} }} = {b^{{{\log }_b}a\, \cdot \,\frac{1}{{\sqrt {{{\log }_b}a} }}}} = {b^{{{\left( {\sqrt {{{\log }_b}a} } \right)}^2} \cdot \,\frac{1}{{\sqrt {{{\log }_b}a} }}}} = {b^{\sqrt {{{\log }_b}a} }}.\)
Следовательно:
\({3^{\sqrt {{{\log }_3}2} }}-{2^{\sqrt {{{\log }_2}3} }} + {\left( {{5^{{{\log }_3}7}}} \right)^{{{\log }_5}3}} = {2^{\sqrt {{{\log }_2}3} }}-{2^{\sqrt {{{\log }_2}3} }} + {\left( {{5^{{{\log }_5}3}}} \right)^{{{\log }_3}7}} = {3^{{{\log }_3}7}} = 7.\)
Ответ: 7.