Пусть \({3^x} + {3^{-x}} = t\), где \(t > 0\).
Возведём обе части этого равенства в квадрат.
\({\left( {{3^x} + {3^{-x}}} \right)^2} = {t^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{9^x} + 2 \cdot {3^x} \cdot {3^{-x}} + {9^{-x}} = {t^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{9^x} + 2 + {9^{-x}} = {t^2}.\)
Так как \({9^x} + {9^{-x}} = 34\), то последнее равенство примет вид:
\({t^2} = 2 + 34\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{t^2} = 36\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 6,\,\,\,}\\{t = -6.}\end{array}} \right.\,\)
Так как \(t > 0\), то \(t = 6\) и \({3^x} + {3^{-x}} = 6\).
Ответ: 6.