Логарифмические уравнения повышенной сложности. Задача 4

ОТВЕТ: \(\dfrac{1}{9};\;\;9.\)

\({3^{\log _3^2x}} + {x^{{{\log }_3}x}} = 162.\)

Запишем ОДЗ:  \(x > 0.\)

Рассмотрим первое слагаемое исходного уравнения:  \({3^{\log _3^2x}} = {\left( {{3^{{{\log }_3}x}}} \right)^{{{\log }_3}x}} = {x^{{{\log }_3}x}}.\)

Тогда уравнение примет вид:

\({x^{{{\log }_3}x}} + {x^{{{\log }_3}x}} = 162\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2 \cdot {x^{{{\log }_3}x}} = 162\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^{{{\log }_3}x}} = 81.\)

Прологарифмируем обе части последнего уравнения по основанию  3:

\({x^{{{\log }_3}x}} = 81\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _3}{x^{{{\log }_3}x}} = {\log _3}81\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _3}x \cdot {\log _3}x = 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\log _3^2x = 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_3}x = -2,}\\{{{\log }_3}x = 2\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{1}{9},}\\{x = 9.\;}\end{array}} \right.\)

Ответ:   \(\dfrac{1}{9};\;\;\;9.\)