| Задача 21. Вычислите скорость изменения функции \(y = \sqrt {7x — 3} \) в точке \({x_0} = 1\)
|
| Задача 22. Вычислите скорость изменения функции \(y = \sqrt {11 — 5x} \) в точке \({x_0} = — 1\)
|
| Задача 23. Найдите тангенс угла между касательной к графику функции \(y = \frac{{27}}{{4x + 1}}\) в точке \({x_0} = 0,5\) и осью Оx.
|
| Задача 24. Найдите тангенс угла между касательной к графику функции \(y = {\text{tg}}\,\left( {3x — \frac{\pi }{4}} \right)\) в точке \({x_0} = \frac{\pi }{{12}}\) и осью Оx.
|
| Задача 25. Материальная точка движется прямолинейно по закону \(x\left( t \right) = {t^2} — 4t + 5\), где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени \(t = 7\;{\text{c}}\).
|
| Задача 26. Материальная точка движется прямолинейно по закону \(x\left( t \right) = — \frac{1}{4}{t^2} + 3t + 29\), где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени \(t = 2\;{\text{c}}{\text{.}}\)
|
| Задача 27. Материальная точка движется прямолинейно по закону \(x\left( t \right) = — \frac{1}{2}{t^3} + 8{t^2} + 8t + 10\), где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени \(t = 6\;{\text{c}}{\text{.}}\)
|
| Задача 28. Материальная точка движется прямолинейно по закону \(x\left( t \right) = — \frac{1}{4}{t^3} + 7{t^2} — 8t — 14\), где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени \(t = 8\;{\text{c}}{\text{.}}\)
|
| Задача 29. Материальная точка движется прямолинейно по закону \(x\left( t \right) = — \frac{1}{2}{t^4} + 3{t^3} — {t^2} — 2t + 21\), где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени \(t = 1\;{\text{c}}{\text{.}}\)
|
| Задача 30. Материальная точка движется прямолинейно по закону \(x\left( t \right) = \frac{1}{2}{t^4} — {t^3} + 3{t^2} + 7t + 6\), где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени \(t = 2\;{\text{c}}{\text{.}}\)
|
| Задача 31. Материальная точка движется прямолинейно по закону \(x\left( t \right) = {t^2} — 2t — 22\), где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?
|
| Задача 32. Материальная точка движется прямолинейно по закону \(x\left( t \right) = \frac{1}{6}{t^2} — 2t + 18\), где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 1 м/с?
|
| Задача 33. Материальная точка движется прямолинейно по закону \(x\left( t \right) = — \frac{1}{3}{t^3} + 5{t^2} — 5t + 13\), где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 20 м/с?
|
| Задача 34. Материальная точка движется прямолинейно по закону \(x\left( t \right) = \frac{1}{3}{t^3} — {t^2} — 8t — 21\), где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 91 м/с?
|
| Задача 35. Докажите тождество \(f’\left( 1 \right) + f’\left( { — 1} \right) = — 4\,f\,\left( 0 \right),\) если \(f\,\left( x \right) = {x^5} + {x^3} — 2x — 3\). |
| Задача 36. Докажите тождество \(f’\left( x \right) — 2x\,f\,\left( x \right) + \frac{1}{3}\,f\,\left( 0 \right) — f’\left( 0 \right) = 1,\) если \(f\,\left( x \right) = 3\,{e^{{x^2}}}\). |
| Задача 37. Докажите тождество \(f’\left( x \right) + f\,\left( x \right) + f\,\left( {\frac{1}{x}} \right) — \frac{1}{x} = 0,\) если \(f\,\left( x \right) = \ln x.\) |
| Задача 38. Докажите тождество \(2\,f’\,\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\,\,f’\left( {x — \frac{\pi }{6}} \right) = f’\left( 0 \right) — f\,\left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right),\) если \(f\,\left( x \right) = \cos x\). |
| Задача 39. Решить неравенство \(\;f’\left( x \right) > g’\left( x \right),\;\) если \(\;f\,\left( x \right) = {x^3} + x + \sqrt 2 \), \(g\,\left( x \right) = 3\,{x^2} + x + \sqrt 2 \). В ответ запишите наименьшее целое положительное решение
|
| Задача 40. Решить неравенство \(\;f\,\left( x \right) \leqslant g’\left( x \right),\;\) если \(\;f\,\left( x \right) = \frac{2}{x}\), \(\;g\,\left( x \right) = \,x — {x^3}\). В ответ запишите количество целых решений
|
| Задача 41. Решить неравенство \(\;f’\left( x \right) > g’\left( x \right),\;\) если \(\;f\,\left( x \right) = x + \ln \,\left( {x — 5} \right)\), \(g\,\left( x \right) = \ln \,\left( {x — 1} \right)\). В ответ запишите наименьшее целое решение
|
| Задача 42. Решить неравенство \(\;f’\left( x \right) > g’\left( x \right),\;\) если \(\;f\,\left( x \right) = \frac{{{5^{2x + 1}}}}{2}\), \(g\,\left( x \right) = {5^x} + 4\,x\,\ln 5\). В ответ запишите наименьшее целое решение
|
| Задача 43. Решить уравнение \(\;f’\left( x \right) — \frac{2}{x}\,f\,\left( x \right) = 0,\;\) если \(\;f\,\left( x \right) = {x^3}\,\ln x\). В ответ запишите корень уравнения умноженный на \(5\,e\)
|
| Задача 44. Решить уравнение \(\;1 + 5\,f\,\left( x \right) + 6f’\left( x \right) = 0,\;\) если \(\;f\,\left( x \right) = \frac{1}{{1 — x}}\). Если уравнение имеет несколько корней, то в ответ запишите их сумму
|