Алгебра 10-11 класс. Первообразная

Задача 1. Найдите первообразную для заданных функции \(f\left( x \right)\):

а) \(f\left( x \right) = {x^2} + 3\)

б) \(f\left( x \right) = \cos x — 2\)

в) \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{x}\)

Ответ

ОТВЕТ: а) \(F\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{3} + 3x + c\); б) \(F\left( x \right) = \sin x — 2x + c\); в) \(F\left( x \right) = \ln x + c\)

Задача 2. Найдите первообразную для заданных функции \(f\left( x \right)\):

а) \(f\left( x \right) = {x^4}\)

б) \(f\left( x \right) = \sin x — 5\)

в) \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^3}}} — 7\)

Ответ

ОТВЕТ: а) \(F\left( x \right) = \dfrac{{{x^5}}}{5} + c\); б) \(F\left( x \right) = — \cos x — 5x + c\); в) \(F\left( x \right) = — \dfrac{1}{{2{x^2}}} — 7x + c\)

Задача 3. Найдите первообразную для заданных функции \(f\left( x \right)\):

а) \(f\left( x \right) = \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{{\sqrt x }}\)

б) \(f\left( x \right) = 3\sin x — \dfrac{6}{{{{\cos }^2}x}}\)

в) \(f\left( x \right) = \dfrac{3}{{{{\sin }^2}x}} — \dfrac{4}{{\sqrt x }}\)

Ответ

ОТВЕТ:

а) \(F\left( x \right) = 2\ln x + 2\sqrt x + c\); б) \(F\left( x \right) = — 3\cos x — 6{\text{tg}}\,x + c\); в) \(F\left( x \right) = — 3{\text{ctg}}\,x — 8\sqrt x + c\)

Задача 4. Найдите первообразную для заданных функции \(f\left( x \right)\):

а) \(f\left( x \right) = \dfrac{4}{{{x^2}}} + \sqrt x \)

б) \(f\left( x \right) = \sqrt[3]{x} + {4^x} + \dfrac{x}{{\sqrt x }}\)

в) \(f\left( x \right) = \sqrt[4]{{{x^3}}} — 3 \cdot {7^x}\)

Ответ

ОТВЕТ: а) \(F\left( x \right) = — \dfrac{4}{x} + \dfrac{2}{3}\sqrt {{x^3}} + c\); б) \(F\left( x \right) = \dfrac{3}{4}\sqrt[3]{{{x^4}}} + \dfrac{{{4^x}}}{{\ln 4}} + \dfrac{2}{3}\sqrt {{x^3}} + c\); в) \(F\left( x \right) = \dfrac{4}{7}\sqrt[4]{{{x^7}}} — \dfrac{{3 \cdot {7^x}}}{{\ln 7}} + c\)

Задача 5. Найдите первообразную для заданных функции \(f\left( x \right)\):

а) \(f\left( x \right) = {\left( {x + 2} \right)^2} — 4x\) б) \(f\left( x \right) = \cos 2x — \dfrac{3}{{\sqrt {2x + 5} }}\) в) \(f\left( x \right) = {e^{4x}} + \sin \left( {\dfrac{x}{3} + \dfrac{\pi }{6}} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: а) \(F\left( x \right) = \dfrac{{{{\left( {x + 2} \right)}^3}}}{3} — 2{x^2} + c\); б) \(F\left( x \right) = \dfrac{{\sin 2x}}{2} — 3\sqrt {2x + 5} + c\);

в) \(F\left( x \right) = \dfrac{{{e^{4x}}}}{4} — 3\cos \left( {\dfrac{x}{3} + \dfrac{\pi }{6}} \right) + c\)

Задача 6. Найдите первообразную для заданных функции \(f\left( x \right)\):

а) \(f\left( x \right) = {\left( {2x — 3} \right)^2} — {e^{\frac{{x — 3}}{2}}}\) б) \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{{\left( {4x — 3} \right)}^2}}} + \cos 7x + 2\) в) \(f\left( x \right) = \sqrt {2x + 3} — \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\left( {2x — 1} \right)}}\)

Ответ

ОТВЕТ: а) \(F\left( x \right) = \dfrac{{{{\left( {2x — 3} \right)}^3}}}{6} — 2{e^{\frac{{x — 3}}{2}}} + c\); б) \(F\left( x \right) = — \dfrac{1}{{4\left( {4x — 3} \right)}} + \dfrac{{\sin 7x}}{7} + 2x + c\);

в) \(F\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt {{{\left( {2x + 3} \right)}^3}} }}{3} — \dfrac{{{\text{tg}}\,\left( {2x — 1} \right)}}{2} + c\)

Задача 7. Для функции \(f\left( x \right) = \dfrac{3}{{{{\cos }^2}x}}\). Найдите ту первообразную, график которой проходит через точку \(M\left( {\dfrac{\pi }{4};\,5} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: \(F\left( x \right) = 3{\text{tg}}\,x + 2\)

Задача 8. Для функции \(f\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{{{\sin }^2}x}}\). Найдите ту первообразную, график которой проходит через точку \(M\left( {\dfrac{\pi }{3};\,2} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: \(F\left( x \right) = — \sqrt 3 \,{\text{ctg}}\,x + 3\)

Задача 9. Для функции \(f\left( x \right) = — \dfrac{1}{{{{\left( {3x + 1} \right)}^2}}}\). Найдите ту первообразную, график которой проходит через точку \(M\left( {1;\,\dfrac{{13}}{{12}}} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: \(F\left( x \right) = \dfrac{1}{{3\left( {3x + 1} \right)}} + 1\)

Задача 10. Для функции \(f\left( x \right) = \dfrac{4}{{{{\left( {4x + 5} \right)}^2}}}\). Найдите ту первообразную, график которой проходит через точку \(M\left( { — 1;\,5} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: \(F\left( x \right) = — \dfrac{1}{{4x + 5}} + 6\)

Задача 11. Найдите ту первообразную для функции \(f\left( x \right) = 2x — 4\), график которой касается оси Ox.

Ответ

ОТВЕТ: \(F\left( x \right) = {x^2} — 4x + 4\)

Задача 12. Найдите ту первообразную для функции \(f\left( x \right) = 5{\left( {2x — 1} \right)^3}\), график которой касается оси Ox.

Ответ

ОТВЕТ: \(F\left( x \right) = \dfrac{{5{{\left( {2x — 1} \right)}^4}}}{8}\)

Задача 13. Найдите ту первообразную для функции \(f\left( x \right) = 2x + 5\), график которой касается прямой \(y = x + 3\).

Ответ

ОТВЕТ: \(F\left( x \right) = {x^2} + 5x + 7\)

Задача 14. Найдите ту первообразную для функции \(f\left( x \right) = — 2x + 3\), график которой касается прямой \(y = 3x + 5\).

Ответ

ОТВЕТ: \(F\left( x \right) = — {x^2} + 3x + 5\)

Задача 15. Известно, что функция \(y = F\left( x \right)\) является первообразной для функции \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} — 3x + 2}}{{\sqrt {x + 5} }}\). Найдите точки экстремума функции \(y = F\left( x \right)\).

Ответ

ОТВЕТ: \(x = 1\) точка максимума; \(x = 2\) точка минимума.

Задача 16. Известно, что функция \(y = F\left( x \right)\) является первообразной для функции \(f\left( x \right) = \left( {16x — {x^3}} \right)\,{\log _5}x\). Найдите точки экстремума функции \(y = F\left( x \right)\).

Ответ

ОТВЕТ: \(x = 1\) точка минимума; \(x = 4\) точка максимума.

Задача 17. На рисунке изображён график функции \(y = F\left( x \right)\) и одной из первообразных некоторой функции \(f\left( x \right)\), определённой на интервале \(\left( { — 2;\;6} \right)\). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения \(f\left( x \right) = 0\) на отрезке \(\left[ { — 1;\;5} \right]\).

Ответ

ОТВЕТ: 10.

Задача 18. На рисунке изображён график функции \(y = F\left( x \right)\) и одной из первообразных некоторой функции \(f\left( x \right)\), определённой на интервале \(\left( { — 3;\;5} \right)\). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения \(f\left( x \right) = 0\) на отрезке \(\left[ { — 2;\;4} \right]\).

Ответ

ОТВЕТ: 10.