Алгебра 10-11 класс. Исследование дискриминанта и применение теоремы Виета
Решение многих задач с параметрами сводится к исследованию квадратного трехчлена. Для решение некоторых задач этого вида достаточно исследования дискриминанта и применение теоремы Виета.
Квадратным трехчленом называется выражение \(a\,{x^2} + b\,x + c,\quad a \ne 0\).
Выражение \({x^2} + p\,x + q\) называется приведенным квадратным трехчленом.
Преобразование вида
\(a{x^2} + bx + c = a\,\left( {{x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}} \right) = a\,\left( {{x^2} + 2\frac{b}{{2a}}x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} — \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} + \frac{c}{a}} \right) = \)\( a\,{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} — \frac{{{b^2} — 4ac}}{{4a}}\)
называется выделением полного квадрата. Графиком соответствующей квадратичной функции является парабола с вершиной \({x_0} = — \frac{b}{{2a}},\quad \quad {y_0} = — \frac{{{b^2} — 4ac}}{{4a}},\)
осью симметрии параболы является прямая \(x = — \frac{b}{{2a}}\).
Ветви параболы направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\).
Если \(D = {b^2} — 4ac > 0\), то квадратный трехчлен имеет два различных корня, а парабола пересекает ось Ox в двух точках.
Если \(D = 0\), то квадратный трехчлен имеет два равных корня, а парабола касается оси Ox (т.е. имеет с осью Ox одну общую точку).
Если \(D < 0\), то квадратный трехчлен не имеет корней, а график квадратичной функции расположен выше \(\left( {a > 0} \right)\) или ниже \(\left( {a < 0} \right)\) оси Ox.
Теорема о разложении на множители. Если \({x_1}\) и \({x_2}\) – корни квадратного трехчлена, то для всех значений x
\(a{x^2} + bx + c = a\,\left( {x — {x_1}} \right)\,\left( {x — {x_2}} \right)\),
в частности, при \(D = 0\), если \({x_0}\) – корень кратности два, то
\(a{x^2} + bx + c = a\,{\left( {x — {x_0}} \right)^2}\).
Теорема Виета. Между корнями \({x_1}\) и \({x_2}\) квадратного трехчлена \(a{x^2} + bx + c\) и коэффициентами этого трехчлена существуют соотношения:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = — \frac{b}{a},} \\ {{x_1} \cdot {x_2} = \frac{c}{a}.} \end{array}} \right.\)
Обратная теорема Виета. Если же числа \({x_1}\) и \({x_2}\) таковы, что
\({x_1} + {x_2} = — p,\quad \quad {x_1} \cdot {x_2} = q,\)
то \({x_1}\) и \({x_2}\) есть корни приведенного квадратного трехчлена
\({x^2} + px + q = 0\).
Посмотрим еще раз на условие теоремы Виета. В нем говорится о корнях квадратного трехчлена, т.е. предполагается, что они существуют! Поэтому условие \(D \geqslant 0\) неотделимо от соотношений для суммы и произведения корней.
Теорема Виета может успешно применяться при решении различных задач, в частности задач на исследование знаков корней квадратного трехчлена. Это мощный инструмент решения многих задач с параметрами для квадратичной функции.
Теорема 1. Для того чтобы корни квадратного трехчлена имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнения соотношений
\(D = {b^2} — 4ac \geqslant 0,\quad \quad {x_1} \cdot {x_2} = \frac{c}{a} > 0,\)
при этом оба корня положительны, если дополнительно выполняется условие
\({x_1} + {x_2} = — \frac{b}{a} > 0,\)
и оба корня будут отрицательны, если
\({x_1} + {x_2} = — \frac{b}{a} < 0.\)
Теорема 2. Для того чтобы корни квадратного трехчлена имели разные знаки, необходимо и достаточно выполнения соотношения
\({x_1} \cdot {x_2} = \frac{c}{a} < 0.\)
Замечание. При использовании теоремы 2 нет необходимости проверять знак дискриминанта, так как \(\frac{c}{a} < 0\), то и \(c \cdot a < 0\), поэтому дискриминант \(D = {b^2} — 4ac\) будет положительным.
Пример 1. Определить значение a, при котором квадратный трехчлен \({x^2} — ax + a — 1\) является полным квадратом.
Решение. Из преобразования \(a{x^2} + bx + c = a\,{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} — \frac{{{b^2} — 4ac}}{{4a}}\) следует, что квадратный трехчлен является полным квадратом, если \(D = {b^2} — 4ac = 0;\;\,\,a \ne 0.\;\) Применим это к нашему примеру. \({a^2} — 4a + 4 = 0\quad \Rightarrow \quad a = 2\).
Следовательно, квадратный трехчлен \({x^2} — ax + a — 1\) является полным квадратом при \(a = 2\).
Пример 2. При каком значении параметра a график квадратичной функции \(y = {x^2} — 2\left( {a — 1} \right)x + 2a + 1\) пересечет положительную полуось Ox в двух точках?
Решение. Согласно теореме 1, для того чтобы квадратный трехчлен имел положительные корни, необходимо и достаточно выполнения следующих соотношений
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {D = {b^2} — 4ac > 0,} \\ {{x_1} \cdot {x_2} = \frac{c}{a} > 0,} \\ {{x_1} + {x_2} = — \frac{b}{a} > 0.} \end{array}} \right.\)
В нашем случае будем иметь следующую систему неравенств
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left( { — 2\,\left( {a — 1} \right)} \right)}^2} — 4\,\left( {2a + 1} \right) > 0,} \\ {2a + 1 > 0,} \\ {2\,\left( {a — 1} \right) > 0} \end{array}} \right.\quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a\,\left( {a — 4} \right) > 0,} \\ {a > — \frac{1}{2},} \\ {a > 1.} \end{array}} \right.\)
Решение последней системы неравенств имеет вид \(a > 4\). Следовательно, график квадратичной функции \(y = {x^2} — 2\left( {a — 1} \right)x + 2a + 1\) пересечет положительную полуось Ox в двух точках при \(a > 4\).
Пример 3. Если \({x_1}\) и \({x_2}\) – корни уравнения \({x^2} — 7x — 9 = 0\), то чему равно выражение \(\;\frac{{x_1^3 + x_2^3}}{{3{x_1}{x_2}}}\)?
Решение. Проверим знак дискриминанта заданного квадратного уравнения: \(D = {\left( { — 7} \right)^2} — 4 \cdot \left( { — 9} \right) > 0\). Так как \(D > 0\), то данное уравнение имеет корни. Сделаем преобразование выражения \(\;\frac{{x_1^3 + x_2^3}}{{3{x_1}{x_2}}}\) таким образом, чтобы можно было применить теорему Виета:
\(\frac{{x_1^3 + x_2^3}}{{3{x_1}{x_2}}} = \frac{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\,\left( {x_1^2 — {x_1}{x_2} + x_2^2} \right)}}{{3{x_1}{x_2}}} = \frac{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\,\left( {x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 — 3{x_1}{x_2}} \right)}}{{3{x_1}{x_2}}} = \frac{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\,\left( {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} — 3{x_1}{x_2}} \right)}}{{3{x_1}{x_2}}}.\)
В полученное выражение подставим значения \({x_1} + {x_2} = 7,\;\,\,{x_1} \cdot {x_2} = — 9\). Получим: \(\frac{{x_1^3 + x_2^3}}{{3{x_1}{x_2}}} = \frac{{7\left( {49 + 27} \right)}}{{3 \cdot \left( { — 9} \right)}} = — \frac{{532}}{{27}}.\)
Пример 4. Пусть \({x_1}\) и \({x_2}\) – корни уравнения \({x^2} + 15x + 1 = 0\). Определить вид квадратного уравнения, корни которого равны \(2{x_1}\) и \(2{x_2}\).
Решение. Так как у заданного квадратного уравнения \(D > 0\), то применяя теорему Виета, получим, что \({x_1} + {x_2} = — 15,\quad {x_1} \cdot {x_2} = 1\). Следовательно, сумма и произведение корней искомого квадратного уравнений соответственно равны \(2{x_1} + 2{x_2} = 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = — 30,\quad 2{x_1} \cdot 2{x_2} = 4{x_1} \cdot {x_2} = 4\). Следовательно, согласно обратной теореме Виета, искомое квадратное уравнение имеет вид: \({x^2} + 30x + 4 = 0.\)
Пример 5. Найти значения параметра a, при которых абсцисса и ордината вершины параболы \(y = {\left( {x — 12a} \right)^2} + {a^2} — a — 12\) отрицательны.
Решение. Координаты вершины данной параболы \(\left( {\,12a;\,{a^2} — a — 12} \right)\). Таким образом, имеем систему неравенств
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {12a < 0,} \\ {{a^2} — a — 12 < 0;} \end{array}} \right.\quad \Rightarrow \quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a < 0,} \\ { — 3 < a < 4.} \end{array}} \right.\)
Следовательно, абсцисса и ордината вершины параболы отрицательны при \( — 3 < a < 0\).
Пример 6. Найти уравнение параболы, которая пересекает ось Oy в точке \(y = 3\) и вершиной которой является точка \(\left( { — 1;\,2} \right)\).
Решение. Если парабола \(y = a{x^2} + bx + c\quad \left( {a \ne 0} \right)\) пересекает ось Oy в точке \(y = 3\), то она проходит через точку \(\left( {0;\,3} \right)\), то, очевидно, \(c = 3\). Координаты вершины параболы определяются по формулам
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { — \frac{b}{{2a}} = — 1,} \\ { — \frac{{{b^2} — 4ac}}{{4a}} = 2;} \end{array}\quad \Rightarrow \quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {b = 2a,} \\ {c = 3,} \\ { — {{\left( {2a} \right)}^2} + 12a = 8a;} \end{array}\quad \Rightarrow \quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {b = 2a,} \\ {c = 3,} \\ {4{a^2} — 4a = 0.} \end{array}} \right.} \right.} \right.\)
\(a = 1;\quad b = 2;\quad c = 3\).
Следовательно, уравнение искомой параболы имеет вид: \(y = {x^2} + 2x + 3\).
Пример 7. При каком значении параметра a квадратный трехчлен \(\left( {{a^2} — 1} \right)\,{x^2} + 2\,\left( {a — 1} \right)\,x + 2\) положителен для любых x?
Решение. Для выполнения условия задачи необходимо, чтобы старший коэффициент заданного квадратного трехчлена был положителен, а дискриминант отрицателен, т.е. нужно решить систему неравенств:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a^2} — 1 > 0,} \\ {\;4\,{{\left( {a — 1} \right)}^2} — 8\,\left( {{a^2} — 1} \right) < 0;} \end{array}\quad \Rightarrow \quad \left\{ {\;\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {a — 1} \right)\,\left( {a + 1} \right) > 0,} \\ {\left( {a — 1} \right)\,\left( {a + 3} \right) > 0.} \end{array}} \right.} \right.\)
Решением первого неравенства является множество \(a < — 1\) и \(a > 1\), а решением второго неравенства – \(a < — 3\) и \(a > 1\). Следовательно, квадратный трехчлен положителен для любых x при \(a < — 3\) и \(a > 1\).